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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 queqX<M  
odB]m,>p  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. }x#ueBO  
9P glL  
　　1、三角函数本质： !L.kJ{-F  
&h%Hc}1  
　　三角函数的本质来源于定义 tthu$|$isq  
1{t?lJG  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 MtQfR*LL?  
[mEJB$56m_  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 'SM& 17!o  
4K;cOy  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： J) Og#$)d  
1[-!@k2l 2  
　　推导： h/;<Gb5  
/:h (+  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 &*!kjEhFX  
XcO% ~NF\  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) (s1q0BtNj  
G0cAHSEk  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) m"iGhb;mA  
p/[P[SJ6B  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 5sO?$g1WD~  
QrDj<Eo  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） G,WusU  
[CPb|0|!  
　　[1] JAL TGdW?>  
f$Vz6t  
　　两角和公式 ObqJt0BE,  
dNxfXH3<  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ~ &c)TpX  
MlDM!TAs  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  =]X-w  
3QsD|kI  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB {zHbj%P&  
7l5D4_Lk  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB HU,sg"K  
R:rdIO!.  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) #=%n^}sQ<  
H1f 5L*  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) J?'?!  
7c50f'v*  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Q/4!%!yN|  
g th roKT  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) %QY7$F-9  
((L`#>F  
倍角公式 `;|wpN5WR  
:2")2u(?  
　　Sin2A=2SinA•CosA y,lZ H|@  
Gba5%]@~LE  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 1y_:>"dPk  
t%;*1Zi'  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） )p 3?|{Q  
Y:&{|*gF  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） bu'v^Q-5  
zP{7{{  
三倍角公式 }0K8*Bk  
a]~^u  
　　 yTBoeb/,Q  
g\) 0k;h  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Fj$m63  
6TybKhV  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 4K|] vEg b  
wT^6eH1  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) j7Z e/wWQ  
#=]?2~z  
三倍角公式推导 KqZ)h 6Cw  
sRv9REc  
　　sin3a =#HteZ+Qm  
Gk8ud2bC  
　　=sin(2a+a) }}Jpd w  
q6q~In_s  
　　=sin2acosa+cos2asina lG W?[{#p  
#3FMuD  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina <i}|$r  
eP-$kl/9<  
　　=3sina-4sin³a *hf^jalB2  
Kl2qx|$M  
　　cos3a rH7M^<w]  
m(9s3&y"  
　　=cos(2a+a) T)"9pf  
G8Q57!!u  
　　=cos2acosa-sin2asina ZSk)D?  
nL+.; V  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa wgdo]5  
 -DK=D  
　　=4cos³a-3cosa W~j%w9yF  
?J~tpkE,  
　　sin3a=3sina-4sin³a k?"goxN m-  
9jp\P7(~Z  
　　=4sina(3/4-sin²a) 'j-oH!  
BTt{[  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] {:B j^C5  
e(&\E8ma  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Q :ym/Q  
4S"Kwyf  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) BXeI7G/ uY  
W98Eysuhm  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] NW#ILvVR  
\OmCHo_  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) tS{B R  
T VfBj)  
　　cos3a=4cos³a-3cosa K`I@rz?  
Z{Uyz(  
　　=4cosa(cos²a-3/4) jI3cdc?o[  
CIJjrL  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 5xZ@ (A  
1P%65s!  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) M1p`_b  
YA~G$5?  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) e!JAxQ%k  
M5w,hf %s  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} PpOP+N@  
'hF0/ai  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ^{EJ21NQ,  
0\ T^V:%  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Om\U"=LUm  
FBfSFlIG5  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] (EV+#U5B  
vyy\Le5E  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) %O)xG7lo.I  
1z({'M2  
　　上述两式相比可得 - 2r|cj  
nG25^\y}  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) :u-LT0  
dsO@<'-0  
半角公式 N/Bq+^;  
x lDOy3t  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cR`&Z,  
i#ov|-};  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. $#5a,~f  
=`;677+MQ  
和差化积 d hriH\  
C E:WF>  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] s4#)#St'g  
X'b-L>  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 5e8VxqDd  
WGwC[H  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] c ISzJ  
{P#[\wL9VR  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Q-Xg3Us  
U (T(mZ  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Dj6.j@ Uu  
!|XBgI  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) +?y6|$[  
T~9%:8d  
积化和差 v9pj*c6b  
al1KPsO<  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] /=/&TrcHn  
.W+'PHQwS  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] \ }<T{ c  
: uR$!pJ  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 0z S7f?  
]I\T E<8  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ,H1Q ]}  
RW1xIL>w/v  
诱导公式 ;TN,mng[  
l&i t(jw  
　　sin(-α) = -sinα <D.D_jM  
fl\kn  
　　cos(-α) = cosα i,yJvV'+  
pLpYD p  
　　sin(π/2-α) = cosα u<Eeh+Iw  
ReH9ij  
　　cos(π/2-α) = sinα gTc4;=(i  
'hJV}I  
　　sin(π/2+α) = cosα S]8 )feN  
}-pUxpc  
　　cos(π/2+α) = -sinα o#T  m  
{y< F`, I  
　　sin(π-α) = sinα , n@y"+X#  
A~2XR;  
　　cos(π-α) = -cosα !Fp^/A3weL  
4f `WL#^  
　　sin(π+α) = -sinα a-]m9XN  
?%<884  
　　cos(π+α) = -cosα EP:| W+(x  
CFB} i|D  
　　tanA= sinA/cosA 49s19>gG  
% %e]zU  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα X m5"/~#y  
/ign-m+;  
　　tan（π/2－α）＝cotα V/q~b80  
Rz (uRDr  
　　tan（π－α）＝－tanα z1f> Y[  
D!!VaQv.  
　　tan（π＋α）＝tanα .{lD^r_I  
h 0.U%!ab  
万能公式 ^v*8un&^P  
r6I .!#94  
　　 j5*Dx\  
|=sTC/o\  
其它公式 ;O`VN&  
~'h_x2Q  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 9%1l&a  
;!E**T&(D  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 uizq08f  
+%AQ!X6<\D  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 I04fdO/  
Fw)]slK  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 [v<pK*J  
Le9!Z^pN  
　　对于任意非直角三角形,总有 ,SCVwZcy  
Mmh ,b~e  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC @$x|R dF_  
~Z#kB?(  
　　证: n\G~!'tO  
&.s1^v=uj  
　　A+B=π-C z}rCOja   
m1}NxP  
　　tan(A+B)=tan(π-C) E2Wagc]I  
$]keNx^S;  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) gKOCOA  
@Qj,2`[W  
　　整理可得 j4'T}%p|  
I=nh&~"g*  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC B/$h`o  
3=z_X5BU  
　　得证 :h4C3O{  
xB(`58;\?  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 cP44H$mT  
 @X8LnR  
其他非重点三角函数 Vn\o<:_&D  
4My^[Ege  
　　csc(a) = 1/sin(a) Xk/4E<O  
7 T1SV}"bJ  
　　sec(a) = 1/cos(a) O0 igS  
~ @FeqyOA  
　　 r+mVu@$ v  
#/[ %}RrS  
双曲函数 \SW/tK<@  
0 T,un  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 uP*h;2  
CzQi9k  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 h5j9 vM   
WF%0ZVmI  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) %033(  
_EGxs  
　　公式一： W3# 74  
k g6 ,;=  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： [QekIMy<  
gDYG:if  
　　sin（2kπ＋α）= sinα *_+Q%}  
4xx7TQu  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 16a S^)IHA  
RVPi }\T  
　　tan（kπ＋α）= tanα >>gl.&~O  
fk+ V#}}  
　　cot（kπ＋α）= cotα S.z! 3;e  
rB Oe ysI  
　　公式二： c]EQ IK  
.e+V^L1]  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： : \6wtqmO  
|~8 ~ 6&  
　　sin（π＋α）= -sinα \#?T,@`k  
n :=w>evJ  
　　cos（π＋α）= -cosα f);JJYT)|+  
N&vrcHYw  
　　tan（π＋α）= tanα 81+nyy<  
m nDVf}  
　　cot（π＋α）= cotα G4GR/V_  
K[>c>We  
　　公式三： \::s;_gY  
o5n)qdCi  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 8Mvk"z"1  
PDP4ban  
　　sin（-α）= -sinα ,m\8c 0"  
b9c07-[.4  
　　cos（-α）= cosα ~*m[J@z  
Y(c8~V#Yc  
　　tan（-α）= -tanα ?}L?.[Gs  
tZ-(xu@  
　　cot（-α）= -cotα y @]_"S  
8sd<U~%I  
　　公式四： f/PHhuZ>H  
vRsh[pT  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： P ;ba>n  
]p HN~O  
　　sin（π-α）= sinα <XW\s#~"  
_Nc]#4  
　　cos（π-α）= -cosα VgOC|  
O)-odv1\7  
　　tan（π-α）= -tanα TZ|zma*  
q&IfK!"  
　　cot（π-α）= -cotα a\"#1j?U  
d%6xu^'R  
　　公式五： 5 C8v:@  
PX-;"!v}p  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： > {eJH_Q&  
`L=qJQV  
　　sin（2π-α）= -sinα r|ax}vYs(  
>|Y I0;_4  
　　cos（2π-α）= cosα |pVr >PV  
*LDJ F-)  
　　tan（2π-α）= -tanα 9!n{H+p`  
"3_X/&  
　　cot（2π-α）= -cotα iBqaV9&+T  
>D= pxd5)  
　　公式六： 7oMZ"'  
bbHi}J!!T  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： V /"H+eP  
\<RfJ 2~  
　　sin（π/2+α）= cosα ;zC~l  
B:^B;iGA\:  
　　cos（π/2+α）= -sinα KVDsa^1X;%  
V9!/)]8  
　　tan（π/2+α）= -cotα Qa5GN1(L  
t| :iWiP  
　　cot（π/2+α）= -tanα fy>SO}6$h  
 +6`uZeub  
　　sin（π/2-α）= cosα "C|K J`  
)b`G5aXH;  
　　cos（π/2-α）= sinα t -jqX5QnS  
+o*   
　　tan（π/2-α）= cotα 3y>m|gH8  
D+U2w8  
　　cot（π/2-α）= tanα 4n'y0=DM  
X'$p~CkbDD  
　　sin（3π/2+α）= -cosα b$l QZme  
uNIZ`~u  
　　cos（3π/2+α）= sinα 9*4Ze;n  
(*)=<Nv vB  
　　tan（3π/2+α）= -cotα oo(3/  
Pb|LL 8,;  
　　cot（3π/2+α）= -tanα p 0j]n8M  
l;8Lx1Z Y  
　　sin（3π/2-α）= -cosα DZd/53X9  
4Wi/> DDJ  
　　cos（3π/2-α）= -sinα [S@De%?*4h  
2%+ Z3  
　　tan（3π/2-α）= cotα -L?0:@mi  
8ku~+ Y?c  
　　cot（3π/2-α）= tanα 'ekt#0{Gw  
^7[<c8y  
　　(以上k∈Z) tC8A~=U{  
%#O#%`3  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ;0i) 6ico=  
KJ&X72I  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = AUbDn#{I  
ZV<rvt'\  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Dwc&g~[W  
g^pXD+t  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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