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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 kN'F`%?o  
nhdY 7W: "  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. idc$r|Z G  
S=fsmOQQL=  
　　1、三角函数本质： ?Xn%qYq  
ojsiv:V  
　　三角函数的本质来源于定义 Os5#91;(  
L#B*7H{  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 :"k7PT  
yndgGOw  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 @vs6x<cQHX  
O"3\kPY  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： wm#FD   
3/}#vb,)  
　　推导： C( $&fc>7  
 1AH<g`P  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 G=&}O"N  
.xr>R=Q9  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) oC +C |E  
r Uz/_y V  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Kh4Cs`w_7  
HrbY:;,h  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ~k=W!Y)  
{[b4eu{/j  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ND,gDr;  
kDh~ g'  
　　[1] ]~&+_SA8@  
]o?-g(  
　　两角和公式 R):z<@D\  
rVCcuK1  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB $Yhr.6p  
2hW1elVC,  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  .7 [w/Ly;  
tDn[O} 5  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB G4'WV7AD  
?9_B0xA  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB F>foB2*  
/%HJPo!I`  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) [fq{ M[J ?  
f\)\y'l  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ysS],SYrx  
C8z^Q*y:  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Y?8\   
snP[W@%)X  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ZfEIU6  
i^9f+=4.B  
倍角公式 L)|TjC#Rj  
vh 1ke23  
　　Sin2A=2SinA•CosA 3B|c$C*^-  
rF[g8O(B|  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 `^< z #tS  
e @sq.wG  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ufNp6X'H~  
# >0Fg  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） $:%\hs%;o  
.CtFn-z  
三倍角公式 eP!lS5}_M  
r )`Ng~o  
　　 Esx+`^fm!  
_`~ZcUFA  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) d *WnS%m  
GE.MJU[%m  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) =5|4b\|`  
'{2OyzzVJ  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) k~<r)m!T  
1qO C  
三倍角公式推导 =k'=9e5LJ  
@>|Qvhc  
　　sin3a f}*m /  
k/^`TnID  
　　=sin(2a+a) @Xgh=_v6$  
>%Eg}Qk  
　　=sin2acosa+cos2asina ((ouK,c]  
-F% 7/AD-  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina O>{blta#  
F<o41ah|  
　　=3sina-4sin³a P:,YSESGm  
XAL{f):<u  
　　cos3a *c8$@U(f  
@+ <Iwt(  
　　=cos(2a+a) 3bY{*aLI#Q  
f=<*aA*d  
　　=cos2acosa-sin2asina CHN)2_x1  
C[LS'i$Q  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa .Jmn,*#q  
|Oo)/  
　　=4cos³a-3cosa (*Gl(EI06  
V")!%Q 6  
　　sin3a=3sina-4sin³a {2=\DA:#  
 V6}i,_  
　　=4sina(3/4-sin²a) >^i-JX{22  
,yOSVRw[  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] b i[j?8<:  
=xREY+F&  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) =[\3Y/uJj  
FC|].yL J  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) uM/.bHG-Q  
uCKB  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ;jd5$L}3l  
'Phz!3\x!  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) z7_3_@J`  
).m_ PQ  
　　cos3a=4cos³a-3cosa J<o(Szh>A  
z.9fft&t  
　　=4cosa(cos²a-3/4) I#0E";/q;  
`c{Q8/&Cs  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] m%F8Yw  
} z XNY  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) u~y,TbB  
:3Nn$*oe  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) m|cc|~(n  
4Rb.YkHd  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} '=9b5gQ  
u,#-pdHN8  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) hG-O8# B>x  
1m6BAk?  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] *h4M"&2  
2~ n2#5>v*  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] T'{mS #  
].f6X=*8  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) oMZ\MV  
R <#][  
　　上述两式相比可得 ns].9w M  
~3z Tk  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) > 0i`Z!#  
,7~cu[  
半角公式 I km?  
P Hy]+e  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); tr"]!I2  
8T}0ZQp2,  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. XhHH!qrs  
gB$g4^z  
和差化积 fo{x4t  
pSu,bSvl~  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ``.),E#  
abbpyeF\  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] X<h`F#{  
_)~+jm[ U  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Y*3|QU1i!  
DV8y3dM+Q  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] &fmo  
w "@kA2  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) X"i[C];   
n4D1O7Md  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 6hRi5,fLa)  
PjOE[mGK  
积化和差 N9(8^&4G  
Hl<W_[at;  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ZNW"5(%Cr  
0r\7[_ !C  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] Z]Rv5Vq!  
D5oF _  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 8nEUtJUz  
 _ G  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] `x[4 +  
wQrpD;^n/  
诱导公式 twV- wN  
<bAmIq^]:2  
　　sin(-α) = -sinα ~Z+ge; O  
t{;@C@  
　　cos(-α) = cosα WeGm |K.`n  
7< ?$Ozh  
　　sin(π/2-α) = cosα y}7'|*  
'W\~M $ b  
　　cos(π/2-α) = sinα [ 4E`D`o  
+!g w9nE  
　　sin(π/2+α) = cosα \eo=ff0  
`cr,X3m  
　　cos(π/2+α) = -sinα u4zv ]Ft(  
R.f\&J/g  
　　sin(π-α) = sinα _i?>3q#m  
uhG@@?u  
　　cos(π-α) = -cosα @E0Hha.MEA  
m&%X%dot  
　　sin(π+α) = -sinα dN'R@^FK{  
1 iMI  
　　cos(π+α) = -cosα ={Mnu>8e  
ee 9xS2  
　　tanA= sinA/cosA [)!( (@gwi  
&@?D8bL\J  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα c.<G[0fp  
0:9G< #  
　　tan（π/2－α）＝cotα KwV(d!fS  
Z *NF6N  
　　tan（π－α）＝－tanα t]PHdR@  
s4IZhA*  
　　tan（π＋α）＝tanα "yaJ'zej e  
1DCN[":H p  
万能公式 tqaX70=  
}8;LwxXWBz  
　　 ~$ m}c\  
JfZTn87,>  
其它公式 k :sWS:m;  
'Fy HR==  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 P8L$8^lD+  
&M sB>`Z5  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 '~ e5+=  
s\hW$_  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 I#XI UKi  
#vs?~nyzr5  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 rey M2/f  
zb_#Ep/IN  
　　对于任意非直角三角形,总有 j:;wI/~{  
ZD3wG B  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ~$bVr8238  
Q .-%8JG0  
　　证: "X+^'O2"#  
w4 )  
　　A+B=π-C 3`N7YE  
*"LthF?P  
　　tan(A+B)=tan(π-C) AeJk#4w  
3D2@!Rl44"  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) lFG{?3fBG  
$1UyRtY{y  
　　整理可得 Jibh7  
|X=>X Hnt  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC @g]# 9N  
ja'=8#%  
　　得证 9 fUG^DBy  
qls<SF'Vr  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ARJ=acm x  
<F[ksur  
其他非重点三角函数 t,JF`bk%  
n037a]S2=  
　　csc(a) = 1/sin(a) *\[ Nca  
H :uZcb&  
　　sec(a) = 1/cos(a) w2g4xk4f  
bh!1t`J0  
　　 SFMh?4DqV  
#:"IGVA,W2  
双曲函数 @OwH ANm  
)r}/5Hd,u  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 sZjoD} E4  
(swJBenbE  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 nV')@>  
9Cw]j{+go  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 9>\z#J[  
KsagT9Nc  
　　公式一： =U;T1Z  
pg*&DFGL  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： g3VV!g  
^y5{TQ`g{  
　　sin（2kπ＋α）= sinα (sw@h-Ywe  
cBJ8+   
　　cos（2kπ＋α）= cosα d+t \Z  
k2?YY{E(  
　　tan（kπ＋α）= tanα +T;p#\Z~(  
b b-TbR  
　　cot（kπ＋α）= cotα ^+FEwj )  
Rqxu u3#N0  
　　公式二： |QBl/v |  
',/wnG  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： jXM?`  
#w\Yum  
　　sin（π＋α）= -sinα ,I&&J*b  
*#u93L\  
　　cos（π＋α）= -cosα 6bH?a}Oi4  
*+Dx  
　　tan（π＋α）= tanα Y#<|Hg8x  
/m] R#``  
　　cot（π＋α）= cotα @c}c\Pp(%  
ktzt\P<X  
　　公式三： ,/`-"j$Q+B  
~s\XZ:m  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： C/xn't  
, 0-.A+GE-  
　　sin（-α）= -sinα 5jwfw"{  
8Towk#  
　　cos（-α）= cosα $ gJ=E7oP  
c rbFsg6 W  
　　tan（-α）= -tanα BQKJ| ,  
[B4H9  
　　cot（-α）= -cotα |"&(AaXP  
\yl{4Jw }  
　　公式四： Bw Bm><^  
\yCr@"Cg0  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 30. _"W  
46{ Ol%  
　　sin（π-α）= sinα |"om.GT7  
}ZKmxHiX  
　　cos（π-α）= -cosα jBzDFj!  
>P(UaPMRy  
　　tan（π-α）= -tanα /{b<s4 _H  
8fc8TyXs  
　　cot（π-α）= -cotα =9Ki17  
pe|D_,<  
　　公式五： @Z9C1Ae  
}Wj ^Jf  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 3T 8]:~u!  
 o' DJ^  
　　sin（2π-α）= -sinα BL=}0#sGh  
cV`#y3+y  
　　cos（2π-α）= cosα _q&|H $sJ  
Q5O_?V  
　　tan（2π-α）= -tanα bpM-XY  
;7&uRs  
　　cot（2π-α）= -cotα Z DB%MjQj  
 aP@/2&5  
　　公式六： ~BF|saQ  
T`I<T:*  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ai] ~P9$Z  
Izx9mqH  
　　sin（π/2+α）= cosα u{".p  
u?`a ~ L8  
　　cos（π/2+α）= -sinα @S&>  
cU",/Kmj  
　　tan（π/2+α）= -cotα $MBy&ft=|  
b$>_}74  
　　cot（π/2+α）= -tanα <cGn|Zx'  
tJELPz;z  
　　sin（π/2-α）= cosα pPP4C5,^Xy  
!D8CZO+z  
　　cos（π/2-α）= sinα iA1=kka~  
Fa ,46V  
　　tan（π/2-α）= cotα qxb{S!x>  
z{qj(xv4P  
　　cot（π/2-α）= tanα 0(c&.u3F!  
;d 4N<LB  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Z{tL.M_  
:QHXw{N)+  
　　cos（3π/2+α）= sinα /Hc@;sr^  
4}[4I[3  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ~z;ft/N-_  
Evf~Y)  
　　cot（3π/2+α）= -tanα uNa{t~O/i  
VBP(1=C  
　　sin（3π/2-α）= -cosα %Z{XBh*  
 Sk\G.I  
　　cos（3π/2-α）= -sinα S,E4\Pa)  
i#- NfG  
　　tan（3π/2-α）= cotα `0m~Oy  
Vl7,?gx5rb  
　　cot（3π/2-α）= tanα [$B(P K{X  
. {&P}(B  
　　(以上k∈Z) UM(\'Li.  
W.4?2vdQl  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 > (kO8M j  
j@%cE uXve  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Sdr[N5?  
KSAS5$ 9  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } f9{oG"v K  
-x&=x4  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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