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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 s~)9 ]  
q  l'\S@D  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. .nF&Qa  
XWtBU=A  
　　1、三角函数本质： tZdn'6  
_0fIBZ%I\]  
　　三角函数的本质来源于定义 ';_~?N\"Z  
i-XAVTv  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 w~6z L{O  
.ZSIh_^Fq  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 CW>_)bDO~  
j:'lCT)k  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： TC<ZE,9t  
10mxIMFQnK  
　　推导： jH#Qayr  
r;DVA=l]N$  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 T 3ou)[[2  
x>_~XlRR  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) mbz#| 9s  
9U *+n"  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) gGM+\zi  
c= ,2Bb:  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 9<*{\+v  
07oVj~CO>  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） v} z\u}_  
In|5U,k  
　　[1] ^8wm-/p  
`0}uun-WE  
　　两角和公式 !2< h{9K  
,Z%cc\   
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB L]YJ}w$o  
yugqWjo^!  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  3<za_zb+_  
%MGs I  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Ch}E)D  
,Tt<_{AY,w  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB  E` !qAk-  
/ulp$q (|  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) :,H>R  
.F Zsk  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) $ ylF)t  
Gwvu}v !9  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  (gb#s|`1Es  
] j2zU  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) hW1)5DS  
x^O:x|y|  
倍角公式 f5H?}(I)d  
y4?Z7qXK  
　　Sin2A=2SinA•CosA p#ypJ=gn  
f:9G7z0r  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 xyJy&#,REI  
zgPM n 1I  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） dcs~5  
0 ,<SD  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ET Cs+{-  
" R]X.  
三倍角公式 ^qodeBnuC=  
Sv+w!,)lM  
　　 H/{~'PXLQV  
wwT`.>  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Q1yn.<guu  
1_C6i-{C^  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) )<F`CUP}  
PDYoq-  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) )g}%>WM  
0wk\SG:  
三倍角公式推导 3Q]Y#"S  
h)zil?/N  
　　sin3a $J='i[=hM  
8UT3<z  
　　=sin(2a+a) u}g W6@G  
i2qB UYgp  
　　=sin2acosa+cos2asina oC;P-j  
^y7:8f. #  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina VA0YX Q  
dV<YB''7W  
　　=3sina-4sin³a IlSL8fY]d  
K1+*t^Nn  
　　cos3a V[B)z <1  
 pI@t9I  
　　=cos(2a+a)  D-_l% V  
{ y/Y  
　　=cos2acosa-sin2asina %/sa!5O  
p8"+ &`{F@  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 9cr~RL:  
#:.=${Yb  
　　=4cos³a-3cosa 7RtB`GGl-E  
%z r]F  
　　sin3a=3sina-4sin³a v{+Y   
@W\ w0f|  
　　=4sina(3/4-sin²a) fJ)>8=#  
gm~Ff:~'?  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] E'D>+{>f]  
~z9| #Y$ t  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) w,Mk8\VV+  
<#"WnO  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)  K'Ws"9  
LJQHMa  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] b@!IZ jj  
i4P!k^QQ  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) !wxq QJ}  
[E@T#/[u  
　　cos3a=4cos³a-3cosa w?<Yv27"  
XjV <b.L  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ;:<b1 kn-  
@A#kXd   
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ],`XP^{  
cl;>D`*`a?  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) u,H:X-Z45  
1X H}u  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) R]1 C/r  
7_Wog@u6Y  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} rnTJNW\xBk  
m}Y.?|V"  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) c_p4Wm^t  
4k$,T8g(m  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] TpR_FqY  
:PfVr Fm  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] %_'B@sQ  
{&,0U ]-  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 50 GED67  
(W)%Sf  
　　上述两式相比可得 yer5WTKN  
$:'e,r  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) +/n`f{l*:;  
w]b7n_i,  
半角公式 4 DWh;3  
20+]B=*&Q  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); g5_'4  
p>_c@iQ7r  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. z]z -V~$Z  
  P`{*:x  
和差化积 Hm UK =i@  
Z-!<t6`(  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] `E(cj <ON  
e8iAJD}"  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ^V;aDG*  
x'Ah?+RP  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] b,7g8V  
ba2 K!S^O  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] @MD %I?P  
P\}V05Qv  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Z]fSnIHq  
,%,:5X]+  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) v JbHH9-  
Js#>7I   
积化和差 (Il}bWf10P  
i=m& 4>=  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] rv0;2b)if.  
AC9J&s3  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] GJ ]Z+  
@S3DN  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] - V>]9 4  
n,`7K:::9  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ~u*@9#|M48  
xF.D8aD}g  
诱导公式 \mH[SlpX  
!\J`7WID  
　　sin(-α) = -sinα .^ZCxJyD  
1~Ln[ 3&*  
　　cos(-α) = cosα >{j&SLdI  
va_r.Y|0Z^  
　　sin(π/2-α) = cosα MUS:,Q?!v  
dYwR<SId  
　　cos(π/2-α) = sinα E gwF@^  
k3j|[.kF  
　　sin(π/2+α) = cosα 5x_SC- I  
 VytBI+  
　　cos(π/2+α) = -sinα _!if `$o  
8mdMFH,I  
　　sin(π-α) = sinα +K25YEA  
8&/N>  
　　cos(π-α) = -cosα F){JTA  
U,|XJL  
　　sin(π+α) = -sinα :7fMsI?q  
H :{>\Yr  
　　cos(π+α) = -cosα Bv9W`:~,  
ks MlD  
　　tanA= sinA/cosA s/F?wUaM  
8w8:h<}W  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα R O.G3;:  
{xwJh~>va#  
　　tan（π/2－α）＝cotα AWH-'} X  
<~z[Mt#h  
　　tan（π－α）＝－tanα xNTf wID"  
F?-5?  
　　tan（π＋α）＝tanα ~[^MwW.b  
k>s.~u_O0  
万能公式 c!dVe!;y  
ZJj @PGB  
　　 D4J++8Xq  
r~12Fn6  
其它公式 H%+GHK#$v*  
g~z GzQCHk  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 $}xW\V~  
syQ%7e  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 #Qe[yXiD  
3z[a&A  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 fj{ ^C*1\  
Q'%Ahpt~  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 j:5 `  
@9~ C{t  
　　对于任意非直角三角形,总有 ,Dr()+&_3  
BJ'SC&X]k  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ` xaFf[W-  
3k $"p+}!  
　　证: -ox_pJp  
& (Kb[^7  
　　A+B=π-C A;"%h )f  
eF5: ;!5`L  
　　tan(A+B)=tan(π-C) D? 'y&a9  
+[0s3E`L  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) | <7aMA7j  
=E`f0zmh  
　　整理可得 M`0G1B<0v  
: N5Mhi^  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC UJF_sa  
TEB gh.by  
　　得证 o%c?O5_  
-2_t(Qdk  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ""'auwi7  
95#`KdTv  
其他非重点三角函数 `;[g }5  
0 ! t.v  
　　csc(a) = 1/sin(a) P!itdDh  
QmF5]8&:Z#  
　　sec(a) = 1/cos(a) *reEcv*Md  
$!4:)4 !M?  
　　 -jm#|J  
Me82%M XRC  
双曲函数 Q}*^cc  
YGKVjfeK<J  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 c\WY_Yt]T  
8[oNf  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 <i<MhIIm  
.<G zx!t  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Jc]h@,#Q  
1CV j8~<_  
　　公式一： NY3\ }BI  
&:]r&c<H  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： M j1;G}u  
+Vu+TK?a5  
　　sin（2kπ＋α）= sinα LTkH7B2  
:If~l/*1{  
　　cos（2kπ＋α）= cosα qhJZ~|y  
9Rv%Mvj  
　　tan（kπ＋α）= tanα ?|"),=zY  
sxg#pBA  
　　cot（kπ＋α）= cotα 6~5kC["  
!+k;0mqz  
　　公式二： #\2,yP"  
%IYo0t  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： =%^ ^aKn  
O$/iV-b  
　　sin（π＋α）= -sinα \*2VB;r#xi  
1yy0zk'  
　　cos（π＋α）= -cosα F%g#B_'[nW  
C4XIJ$zc>  
　　tan（π＋α）= tanα 3z~$hVoC  
[)H[ /!  
　　cot（π＋α）= cotα As3|(Bd  
Brn,3nPIAA  
　　公式三： 'n4(ojB;  
IFjB 2nr  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： V!2>&' s  
rfj~cZaz2  
　　sin（-α）= -sinα Hb.X{y/"D  
*&V`w0N  
　　cos（-α）= cosα ,,]_DMt^O"  
V%z{mi  
　　tan（-α）= -tanα "I?\zB5;wE  
*t`3;8Z t]  
　　cot（-α）= -cotα 7aAC  
Pj*e:}F`  
　　公式四： [qD8, '-  
\XnF3F\Lr  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： P$D{m jB  
8$Qp ~F&  
　　sin（π-α）= sinα 0G6g= 8=o  
7FpL:?[  
　　cos（π-α）= -cosα JO }Q  
xpmtFT  
　　tan（π-α）= -tanα 253<TnmQ  
Y8#J3L}O  
　　cot（π-α）= -cotα }s8)}yfG~=  
:B0oxk}  
　　公式五： " g\+JRK  
[lv`iJG6.  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： R3 ]EfkW  
D|WZNwd  
　　sin（2π-α）= -sinα |2 vI95  
SdH{+q8>  
　　cos（2π-α）= cosα G:{pj"B}  
Oi(pG  
　　tan（2π-α）= -tanα S5qG{ QC  
2@|D '  
　　cot（2π-α）= -cotα "f V};)w  
RM"i&LaZ  
　　公式六： GfR3,im  
*cc L,H  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 6Ify`CjR  
e|{i[J$]  
　　sin（π/2+α）= cosα }/}>.XK  
q6)$fE<:  
　　cos（π/2+α）= -sinα q_|gb,/}J;  
ytn9LU#  
　　tan（π/2+α）= -cotα Yj>-7!o  
nz;?[  
　　cot（π/2+α）= -tanα #w!T\0d  
DsI8St <  
　　sin（π/2-α）= cosα MTnF@ =  
(ep0PG~,eI  
　　cos（π/2-α）= sinα /g]2+| >3  
f[ptS!U  
　　tan（π/2-α）= cotα MNrB7fvJhC  
"SU;M:Hgm  
　　cot（π/2-α）= tanα 'sEjn%K  
}hmLv]  
　　sin（3π/2+α）= -cosα .j+h <5>W  
FQkzzYH  
　　cos（3π/2+α）= sinα ;Hx.3p^C0  
Pi![ | .  
　　tan（3π/2+α）= -cotα A`DrKu1{J  
&gZ4T?H6  
　　cot（3π/2+α）= -tanα <g9P59b*O  
jLsw%],*  
　　sin（3π/2-α）= -cosα <Szvyd[@  
e)Nec!NF  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 2#GVzX 3  
+0eYq9m  
　　tan（3π/2-α）= cotα Qyq -BT  
~k|Fa:  
　　cot（3π/2-α）= tanα v4 60S  
"AakFL-  
　　(以上k∈Z) axcCv R  
/=aPP-Xd]  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 e{E-74x  
>sZ/gN ]  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = k#'d|ZX  
Rv[3#tq  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } {c{ mitTUn  
wDHy<3~  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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