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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 pNcJ@hK|+_  
&6[$r7{`%  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. oi Elgah  
Dj`7"G\x  
　　1、三角函数本质： 1 V 6N  
Z Z@v\z~  
　　三角函数的本质来源于定义 KHeA^5  
.q/bXH'  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 |\@!p~N y  
qC)o<b$0!  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 %Zw-GsJ8  
3:#prT&}5  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： /X4`rUz  
hS;/w sjB  
　　推导： ;-@4'\Y  
BFZPho)n)  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 e{!y) AYk  
x[t ,5K\  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ^IqNZXUO  
"O'L#SN#  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) FpD3Gfl!T  
cGTKWs|  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 >XxHd}w|d=  
`<m<`/=%(  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） .!-Rb=g?,  
3dal&Y  
　　[1] ]VLaV`o`  
wN/Nm^D  
　　两角和公式 ~\z vB(   
,&a W]'*)  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Z=r}V-e_h  
|\Wa:B\e[J  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  "$}ACYT9  
[auzt Bi  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB "-.f)o P  
Kh%|t=X;  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB }[45x*Wz  
<#ccfv<<>  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) cyP(N;LRI  
';1<|A6dyO  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) av6 =cyH  
b0$~Cb]E  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ^L:&@eH  
/:9~SzQ  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) y& G59F@  
h d{1iA4  
倍角公式 @" Aami  
*fT>nx<Ge  
　　Sin2A=2SinA•CosA 9NQ`S`]  
ZX:G4by  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 Q_?koM }  
!hSY: kY  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） CSFyM|!  
X$-yFEvm  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） P"5xWyo%  
cA@,_@Z  
三倍角公式 /?ejz)=_  
=yg{%2'uM7  
　　 (#:Up3/  
>}XV&@4)b0  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) OM3Q  
!BH-w^  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Bi`=pH"  
aKKAY/UB2  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) WKZ5_9*  
`AGS9G8l  
三倍角公式推导 "lo7r  
JkO.v=v  
　　sin3a 2e/i:?"+  
|yk<,CbJQ  
　　=sin(2a+a) (k{19tng  
~g3v r-4  
　　=sin2acosa+cos2asina O?4_N7  
[^eF*SXc\  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina M{;lW]  
Ny}:U k  
　　=3sina-4sin³a ~ `R'9 8IL  
zHyvxQv  
　　cos3a @4V=S"  
)Wb>{Dg}  
　　=cos(2a+a) F*y _~2'  
RXX3S0]*  
　　=cos2acosa-sin2asina ) uU.$5V  
_B5Q*   
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 9caJ)=i  
GCvj)9iHU{  
　　=4cos³a-3cosa t,am [o(  
^M_U~xal]  
　　sin3a=3sina-4sin³a EGy]+yw  
+nnj 8:$  
　　=4sina(3/4-sin²a) /7[a:5> B  
ta8wcmuPd  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] H !lre&  
l`B^>J'gq  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 5v%"4,!l+?  
1 <V-V  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ;C6XqQ&/  
*']Xvf+  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] SEz^SDH  
O dfV2hu  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) d(hT-_R  
'#-9QTI{  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 4D,H'Ay\  
my[gPk{  
　　=4cosa(cos²a-3/4) g9N%MT  
/}CJ$Nl"<  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] L ' +=h|g  
0jE2p~K  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) r<D;2k  
2k=D!Kg4  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 9++iDC!k  
GiV @&"EV  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} %R kI!;`4  
D123}H3"V  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) |]sUu"vH  
>(%Y'UHy,  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] PQ"V.&cc  
*euW1aq  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] sfg!`myX'  
vH3`dyE?  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) |'EJCT  
zM8]@Jw  
　　上述两式相比可得 P>9"7=j  
g\^fyP7x  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ~(w<XG ,  
`&i^vTCjc  
半角公式 z2IPVhmc  
E(4k+3 Q  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); D<Su9Uk"D  
$B dXv{K?  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Ay-S   
Lgf+pw~}!  
和差化积 W(.?QYZ  
>`l/urO  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ss<g) Gd  
6fQ&sv;  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] X4=fQ{%CD  
X9<zfqd4  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] [@o+Y-l  
GABzR &r;(  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] S)GR".B;}R  
}]0R'="}`  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) {g+QiaT_  
u2Vp$R  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) b?Y*@'F  
2<=X  
积化和差 6,1zu ,  
E |I[Eq$  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 18Gh5;?  
/"\44{z.`  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] S)"LJi8M  
=3%@tk{U  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] );D[n\:s#  
I)j|44(R  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] H A0p^  
C1gX$8R0t  
诱导公式 ]s \yPv'?  
{ZHr gPP  
　　sin(-α) = -sinα #6QT'M8d*  
pPQZ$Wtp  
　　cos(-α) = cosα 4! oJ6-  
4^i b{n,  
　　sin(π/2-α) = cosα 1R0$j4r}z  
btAr0FKFl  
　　cos(π/2-α) = sinα 0)tB?\mnd  
qd">DP  
　　sin(π/2+α) = cosα SV8mpR1ys  
Q 2iE@;  
　　cos(π/2+α) = -sinα oQ4j5%)  
S`nKsJXGb  
　　sin(π-α) = sinα J(oiE7-'  
lg\&vWl  
　　cos(π-α) = -cosα u(sdXU  
c | 2Ng|  
　　sin(π+α) = -sinα /%s@z9G  
XF KtU  
　　cos(π+α) = -cosα eT_gmR*f  
jh+Rha-N  
　　tanA= sinA/cosA $Rj?9b%z  
(2Z">4Ii  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα *CEd:n#O:  
=?aFeJTyc  
　　tan（π/2－α）＝cotα 48@Q ?i  
7wX]DaT8A  
　　tan（π－α）＝－tanα _]YFZp=  
#y'+ n  
　　tan（π＋α）＝tanα 2{L;YW?e-  
X1yw'1  
万能公式 pqXye\a  
l*HT.{d-3  
　　 !,,xs=  
=N+hIHO  
其它公式 ~ACVtb  
1~v;  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 VQ!ek^ I E  
%q>>\  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ? ?p}-`P  
*`?S}me  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 }]q7]qj  
yX0 VdoV  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 u+m}q4+  
R]ez>[kiN  
　　对于任意非直角三角形,总有 (!.M^U"U  
.N|U)y}Vk  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC w9Y.yfx  
^{L1>VFh  
　　证: M[w^fD!"  
KpGeIMJ7  
　　A+B=π-C W60{:.W  
[M?qC+\z  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ;>. ZW =q  
]mU);G~  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) %g`c^\1  
B" d/~!#  
　　整理可得 u ,wcd=  
*[hKk'qB  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC >:Dlj BE  
<#EkC_xSMi  
　　得证 rC0z;o  
Kp#RUoM  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 w65$ [%h  
5_q:6[ h  
其他非重点三角函数 1/t-x 4ht  
w Q{OGR  
　　csc(a) = 1/sin(a) :L\;=H*  
QkiswuICX  
　　sec(a) = 1/cos(a) 5#ycA5.(  
#k9MVSGl*  
　　 $ 2G?H%  
UEv{K,  
双曲函数 wsl0p[^&6u  
/&vhl3B4wi  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 "as;DFjyui  
<JqZTLej  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 F3g?r AR  
~C `{=K  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 4 h"L\jA  
MGP> 6r6zn  
　　公式一： ;_E%$a  
uat{{r9v  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： +zn 'v.  
XtI!~{op  
　　sin（2kπ＋α）= sinα Tq9z 9k  
.3{kLtT \  
　　cos（2kπ＋α）= cosα &+eps80c  
V:c{}2xos  
　　tan（kπ＋α）= tanα [_;s^o  
fBg*1em1]k  
　　cot（kπ＋α）= cotα 4K,,:)/*  
1s@/?9.  
　　公式二： |LK]rtmH  
W&S6X MK=  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Q'B#Bkh  
`W$lyB7|  
　　sin（π＋α）= -sinα 5=}B AM  
 ()fL1u^X  
　　cos（π＋α）= -cosα ,ca#?g  
( 2NQjS-  
　　tan（π＋α）= tanα r. GPh  
\qE`Ax  
　　cot（π＋α）= cotα KpD0e  
7B?\ho|Sr  
　　公式三： K/+3g_Y=  
b]hO |G  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： //E9:'2  
jf `L j@R  
　　sin（-α）= -sinα Tq)!^|uw.  
b0#7jVE  
　　cos（-α）= cosα hH)RK nHs  
+x8FXe  
　　tan（-α）= -tanα oOY fGrLg  
Z@sP<.VU  
　　cot（-α）= -cotα H3C_z e\^#  
m0}etkH  
　　公式四： z. "O}a0  
|Izo&Ti-l  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： kv"qk  
%-/.C,s  
　　sin（π-α）= sinα NyFcpKnV*  
/eZN*6   
　　cos（π-α）= -cosα m*fp1#  
,C}G7M8B  
　　tan（π-α）= -tanα _FbN J /?  
J_?O9M(W  
　　cot（π-α）= -cotα <nZ E&sVD  
iL+ssJM |  
　　公式五： ??ZZYBOL  
IdMz,0I/y  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 8F4MU:o  
Juy R&s9  
　　sin（2π-α）= -sinα ZU|'!o\gR  
;Q[?w& k7  
　　cos（2π-α）= cosα |D ts~Pt  
nA3Q %Mfx  
　　tan（2π-α）= -tanα 40><KFl`  
4L0b4lsS  
　　cot（2π-α）= -cotα wWw:ruL :u  
w}IP~./Na  
　　公式六： LI5[Y#B"x  
 vA2H-,D/  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： OtH`9"v  
v(+"l%c  
　　sin（π/2+α）= cosα %1!G y]L  
$Lu<"\t[  
　　cos（π/2+α）= -sinα  bN"7HM  
g^m:>}  
　　tan（π/2+α）= -cotα C0q{?zoA0  
~XAM25F=4  
　　cot（π/2+α）= -tanα 92 O!iwB0  
TSs2W:E]_  
　　sin（π/2-α）= cosα vsZS1*W  
)lj|9GqZ4  
　　cos（π/2-α）= sinα $.* B-F  
S%Nz 7k  
　　tan（π/2-α）= cotα |p{Lso"  
/HNL~v  
　　cot（π/2-α）= tanα QODK(  
8myBaSP{  
　　sin（3π/2+α）= -cosα , yEg  
pG ]f"D|  
　　cos（3π/2+α）= sinα g? UdoJ<  
n_[5  t5  
　　tan（3π/2+α）= -cotα (v3EHjs}  
sD${'?9i2  
　　cot（3π/2+α）= -tanα lx I?L  
TD@0FnY  
　　sin（3π/2-α）= -cosα Y?xuCSUb ?  
ei8VV50<  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ,}]{n^J+l  
asS~7Wx=  
　　tan（3π/2-α）= cotα TY$wb^<EtQ  
~FHd[z~KK  
　　cot（3π/2-α）= tanα ^EO([3JEM  
~CyonN  
　　(以上k∈Z) hVDxB a  
EYt\Cr:  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 D";0&eJR~  
A4 /}$l  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = (;y0;7 HZ  
67#j62,  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ec-D "-#2  
2y"dkN2  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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