三角函数内容规律 |cJ{vb
n{(W6T*,
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. F4GsbaLf
xSC
\2Y
1、三角函数本质: Fvx~eq6_
0<1c'$.Vi
三角函数的本质来源于定义 Ph*1#+!!
PCX,PG!Vb
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 y<
e`f
*uU?1d,
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 #uR2uXz
5~(Oj)7se
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: ]"[M%o'
QP|GU!tk_!
推导: N2E>)1
=2AFfxX6Ei
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 b*$m
v[jA=1h
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) N=
fH&}I
N6mB[l9'/
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) lI+(!Fx[
#0dJ|
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 I#;tq=
JpX\dU){
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) 1YQH^8@
, tFa-wci
[1] @aa2jv
Fq
m^)\U
两角和公式 1G
i+TC\Y
~Iy=d~6jT
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB %iK^Qvi,[
klVFoLB
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB ['5Q<RM2
<y50Gj4?Cn
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB A5XbZ=$$y
hqL|H
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB oGos.yYR
7|UQbYi
%
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 8Vdqk`\>
O9 "S>M!U
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ^\%Jlq$e
rW]|O69k
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) 6X C~ %!w2
041PHT1/7
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) YE+>XYp]]
#)5Ka;{xV'
倍角公式 ~\$
5 5<j
evN <_b
Sin2A=2SinA•CosA Z.VLAI<
xyV*LtV
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 O}W:2
pmg!5n_>
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) [NCHwq&
Z.(9"VO
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) 7B<oiA8
}e6~%<X
三倍角公式 )8n/~tqlT}
^ghkE~
M~Gqj
_5
BX
\$$F
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) [V'
i$:,r
TN\wr}e
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) rNCDQM
y&ZwQ`
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) D@,)^N l
~phP fY
三倍角公式推导 2W,f&~j
mhr<m
sin3a vst{c@i}2B
\1W '4
=sin(2a+a) |}S9.Y4h
#v_vS%R
=sin2acosa+cos2asina ](4UCDocd
EFm*>hHDQ
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina !t%3iU k~
Rj|YC;$
=3sina-4sin³a CD#!N\~0|
$_[QlSAZ)
cos3a bppo%7i
r+pW4Iu6;
=cos(2a+a) _tq|JE8!
~\Z *`,
=cos2acosa-sin2asina Ca)&|#T4
l~-yf0
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa z&\lNhCq
]-l<\W,@1
=4cos³a-3cosa uUWfVJ
q
0>
XQ8eO
sin3a=3sina-4sin³a rh8K}L
-:nw6 3_
=4sina(3/4-sin²a) FL&slsMc
`UDL5C~m/[
=4sina[(√3/2)²-sin²a] av+|e <
3LVfqc =g
=4sina(sin²60°-sin²a) 5Q@$)^
F`}=-vO2W
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) B3r
!$(`|
Rc>hcEYjsZ
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ,4 9w)
0I
X8& J^5
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) O<To
vz?%Z
cos3a=4cos³a-3cosa v|KVK
;B1
2pJCb
=4cosa(cos²a-3/4) !_cI:
BN
R8|WwV}
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] L6gk4*<g
/^54 d~
=4cosa(cos²a-cos²30°) yp3Jm'
F$}TqZI
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Q~
{WX+o
z#6v}W1fR
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} fB_hz2
0_y!WscKm
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) v@~cY/3
Zo.Fgbd[
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 6I )?el
pr*P=
a6
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] K.u(u2=
Ej0(KvsaR
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 9lDRa7?G
?PoRJ1
上述两式相比可得 7G>
gP;>*
MXxL()3
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Fz,Wia-M%
Z|)LxXYS
半角公式 V5Kwi&8)J
`F8YZ0)m
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); -2$r
(<9P}[69
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. `]!l/V)<4
0UAcW$D50
和差化积 eO`,iT
L"JP<@#M0
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ZdIh7CkY
FC|=N~
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Tz6]h".e
WQieuLgK
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] &}9]S}N
Z r:,D*
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Lz4*}&
GB#W<.K28
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) -=[Qm|
eI%d%;\|6
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) /&f'5
x&L@g5cwT
积化和差 N2LXxZ'>
5f}=I#N
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ,ne`_dD<<
c
ipFB
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] pH2Q
)[1r2%[
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] t%>xO;w
f6H]l}TW0
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] @]qJ\[l
@O5QsZ6
诱导公式 72?x|;
c/._h
G]{
sin(-α) = -sinα #VnV$dh6v
a:%9D(kk{
cos(-α) = cosα .=Cvb1Jf
R>JjG9N;J$
sin(π/2-α) = cosα p,/"[l-(|
4I!5NI
cos(π/2-α) = sinα
//wf;2Q
*jizZ? "8
sin(π/2+α) = cosα |7^c2n~'
73Y.#f#
cos(π/2+α) = -sinα %EK@c25w
A%wpW A
sin(π-α) = sinα t U?DdxSG
7>aU*qmJ
cos(π-α) = -cosα pp?nEPcN
|Z8<TP$D
sin(π+α) = -sinα 0SzfAK9V
rYK
P
cos(π+α) = -cosα F.({rj&k
} {HQh. yF
tanA= sinA/cosA %V!k'}
mSl*39=~
tan(π/2+α)=-cotα n. 7;,I_
~ #TOF"#
tan(π/2-α)=cotα mc,pH:1h
(:BWak,
tan(π-α)=-tanα TduC e%sR
$8oum,
tan(π+α)=tanα [H_G_v(
I.kg fyN#
万能公式 mf U:a
0YeIb4("
N|
&W|v^
/W^Kjd
其它公式 DA[UQL
aQ%9G
,
(sinα)^2+(cosα)^2=1 2Iq=.St
ug4v4
1+(tanα)^2=(secα)^2 EG-mSxN
c$ifT`k!X
1+(cotα)^2=(cscα)^2 h# >J}>
z[
| 3y
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 u9H>K?Zsg
=M!?Ujj'*
对于任意非直角三角形,总有 sea_IRU
7>;PR]E
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 8wO1%D
\ oAu~k
证: xpAZO-+
v
%M;gzNN
A+B=π-C |S6!@<H4@[
6l,e,g
tan(A+B)=tan(π-C) abgd=*(i
yS6r"Y
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) hyiWK
zF<w@5
整理可得 <
;8RvtQV
B"?l8ATU
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC xo~q|F
uAUrS6
得证 C
"F@ey.\
*mu^>!>F!}
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 .Wws\4
+X9[@htQ-
其他非重点三角函数 h6rE#sF1]a
Hye4O1mt
csc(a) = 1/sin(a) E\8PPx
"\`+%P1n
sec(a) = 1/cos(a) ?LAX:`v
L
Mh:E}
-p'u{T_m\
F "h.
双曲函数 y1y[
A! Q
WQ5 D3Y
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 K[_p1d9
;) <Wob[
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 bo[1:
7
i2xd'Nm:Gq
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ,Bp/^)1
{ [v@{4;?#
公式一: qNPHkyMy##
f[H]K1fTC
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: 'Flow$r[
MKX"-"A
sin(2kπ+α)= sinα 4lS
!7V
ucioET
@
cos(2kπ+α)= cosα =D]^VdI*u
hMOmAJ
tan(kπ+α)= tanα 19,}yTqWM
q\*)f
cot(kπ+α)= cotα _]Q-hfX%]
,f<9_
公式二: <y1HGy-n
]cz7`
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: 9jumA\O
vsW^$O\
sin(π+α)= -sinα
$|
9}^9
QSJY]z
cos(π+α)= -cosα N,YSmKcd
Dv^An\lB
tan(π+α)= tanα ;Es1Jb@
4Colx6.~
cot(π+α)= cotα /I)i%?8n!
4[#nTA\+
公式三: xb5{Y
MR2E R7HX
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: 2+D&g-
)%"5wlP w
sin(-α)= -sinα 1!n<O
E~IYJQ-7
cos(-α)= cosα mz=
>tH
m}ENc
tan(-α)= -tanα *?Gduf{2u
%JNw.`bp@c
cot(-α)= -cotα >&yQsk`G
2Io/0;wlB
公式四: h} aQi6
p/VC1l)
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: ff[1'uLg
zFd9K=Q"w
sin(π-α)= sinα Z-t3#$ '
Jg|Uj{snd
cos(π-α)= -cosα J*;GUzG7
W.kle2P
tan(π-α)= -tanα (petys\p(
?p_P.AEU
cot(π-α)= -cotα uhx
W<F
t7j9UdFsS
公式五: LI2y,Q
P;sN#
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: OI1AY`%iz
`xrs+'&
sin(2π-α)= -sinα ,e&tL\rq:5
UpYnz}+:;
cos(2π-α)= cosα %__c`ZQ`Qd
4-iEQ)
tan(2π-α)= -tanα 4co:<yV5Z
kM86p
cot(2π-α)= -cotα g
@
%TE
QA/}T!D'
公式六: `"GgO/9.
2x\ %?k
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: cI]JHtVu
t4m7DY |h
sin(π/2+α)= cosα <w[l_1JU8
8wQ[>Y]s
cos(π/2+α)= -sinα y#\9]\tb
h-yS Z
tan(π/2+α)= -cotα ({zYo1Sx
~;B,,[vmW
cot(π/2+α)= -tanα N1sEr
`Y2
=4_FJPMY
sin(π/2-α)= cosα B4I_&Q
W_5tSiF
cos(π/2-α)= sinα ~t4@8eUmt
v]s b?={h
tan(π/2-α)= cotα C vUoOY"
pW)Rrh~
cot(π/2-α)= tanα D"t,Jgx~
hc:g'0 u.
sin(3π/2+α)= -cosα j7i@.Q&
* 2{i"(f>Y
cos(3π/2+α)= sinα xe#{D$
8}o]T3V}>o
tan(3π/2+α)= -cotα ;E&c|
bk>m Y &
cot(3π/2+α)= -tanα 13tzp0|C
!*d
xj;+$
sin(3π/2-α)= -cosα &5r259p!
K6(48m57,
cos(3π/2-α)= -sinα 1nhxS2f
*\Sp8+
tan(3π/2-α)= cotα ^3 Pe$)U
0T =<
cot(3π/2-α)= tanα ^k]CWo(7
k:n9S9\ aE
(以上k∈Z) 2p4WHFTy
JyI+V>>
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 8,k;|H
x{,$5J
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = f^Q;PJ
x,Xk26w
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } yS Wace
#XLOrumE
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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