三角函数内容规律 kN'F`%?o
nhdY
7W:"
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. idc$r|Z G
S=fsmOQQL=
1、三角函数本质: ?Xn%qYq
ojsiv:V
三角函数的本质来源于定义 Os5#91;(
L#B*7H{
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 :"k7PT
yndgGOw
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 @vs6x<cQHX
O"3\kPY
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: wm#FD
3/}#vb,)
推导: C(
$&fc>7
1AH<g`P
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 G=&}O"N
.xr>R=Q9
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) oC +C |E
rUz/_y
V
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Kh4Cs`w_7
HrbY:;,h
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ~k=W!Y)
{[b4eu{/j
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) ND,gDr;
kDh~ g'
[1] ]~&+_SA8@
]o?-g(
两角和公式 R):z<@D\
rVCcuK1
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB $Yhr.6p
2hW1elVC,
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB .7
[w/Ly;
tDn[O}
5
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB G4'WV7AD
?9_B0xA
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB F>foB2*
/%HJPo!I`
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) [fq{M[J
?
f\)\y'l
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ysS],SYrx
C8z^Q*y:
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) Y?8\
snP[W@%)X
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ZfEIU6
i^9f+=4.B
倍角公式 L)|TjC#Rj
vh1ke23
Sin2A=2SinA•CosA 3B|c$C*^-
rF[g8O(B|
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 `^<
z #tS
e@sq.wG
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) ufNp6X'H~
#>0Fg
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) $:%\hs%;o
.CtFn-z
三倍角公式 eP!lS5}_M
r
)`Ng~o
Esx+`^fm!
_`~ZcUFA
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) d *WnS%m
GE.MJU[%m
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) =5|4b\|`
'{2OyzzVJ
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) k~<r)m!T
1qO
C
三倍角公式推导 =k'=9e5LJ
@>|Qvhc
sin3a f }*m
/
k/^`TnID
=sin(2a+a) @Xgh=_v6$
>%Eg}Qk
=sin2acosa+cos2asina ((ouK,c]
-F% 7/AD-
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina O>{blta#
F<o41ah|
=3sina-4sin³a P:,YSESGm
XAL{f):<u
cos3a *c8$@U(f
@+ <Iwt(
=cos(2a+a) 3bY{*aLI#Q
f =<*aA*d
=cos2acosa-sin2asina CHN)2_x1
C[LS'i$Q
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa .Jmn,*#q
|Oo)/
=4cos³a-3cosa (*Gl(EI06
V")!%Q
6
sin3a=3sina-4sin³a {2=\DA:#
V6}i,_
=4sina(3/4-sin²a) >^i-JX{22
,yOSVRw[
=4sina[(√3/2)²-sin²a] bi[j?8<:
=xREY+F&
=4sina(sin²60°-sin²a) =[\3Y/uJj
FC|].yL J
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) uM/.bHG-Q
uCKB
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ;jd5$L}3l
'Phz!3\x!
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) z7_3_@J`
).m_ PQ
cos3a=4cos³a-3cosa J<o(Szh>A
z.9fft&t
=4cosa(cos²a-3/4) I#0E ";/q;
`c{Q8/&Cs
=4cosa[cos²a-(√3/2)²]
m%F8Yw
} zXNY
=4cosa(cos²a-cos²30°) u~y,TbB
:3Nn$*oe
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) m|cc|~(n
4Rb.YkHd
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} '=9b5gQ
u,#-pdHN8
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) hG-O8#
B>x
1m6BA k?
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] *h4M"&2
2~ n2#5>v*
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] T'{mS #
].f6X=*8
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) oMZ\MV
R <#][
上述两式相比可得 ns].9w
M
~3z Tk
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) > 0i`Z!#
,7~cu[
半角公式 I km?
P Hy]+e
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); tr"]!I2
8T}0ZQp2,
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. XhHH!qrs
gB$g4^z
和差化积 f o{x4t
pSu,bSvl~
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ``.),E#
abbpyeF\
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] X<h`F#{
_)~+jm[U
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Y*3|QU1i!
DV8y3dM+Q
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] &fmo
w
"@kA2
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) X"i[C];
n4D1O7Md
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 6hRi5,fLa)
PjOE[mGK
积化和差 N9(8^&4G
Hl<W_[at;
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ZNW"5(%Cr
0r\7[_ !C
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] Z]Rv5Vq!
D5oF
_
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 8nEUtJUz
_ G
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] `x[4 +
wQrpD;^n/
诱导公式
twV-wN
<bAmIq^]:2
sin(-α) = -sinα ~Z+ge;
O
t{;@C@
cos(-α) = cosα WeGm|K.`n
7<
?$Ozh
sin(π/2-α) = cosα y}7'|*
'W\~M $ b
cos(π/2-α) = sinα [ 4E`D`o
+!g
w9nE
sin(π/2+α) = cosα \eo=ff0
`cr,X3m
cos(π/2+α) = -sinα u4zv ]Ft(
R.f\&J/g
sin(π-α) = sinα
_i?>3q#m
uhG@@?u
cos(π-α) = -cosα @E0Hha.MEA
m&%X%dot
sin(π+α) = -sinα dN'R@^FK{
1
iMI
cos(π+α) = -cosα ={Mnu>8e
ee 9xS2
tanA= sinA/cosA [)!((@gwi
&@?D8bL\J
tan(π/2+α)=-cotα c.<G[0fp
0:9G<
#
tan(π/2-α)=cotα KwV(d!fS
Z*NF6N
tan(π-α)=-tanα t]PHdR@
s 4IZhA*
tan(π+α)=tanα "yaJ'zej e
1DCN[":Hp
万能公式 tqaX70=
}8;LwxXWBz
~$
m}c\
JfZTn87,>
其它公式 k
:sWS:m;
'Fy
HR==
(sinα)^2+(cosα)^2=1 P8L$8^lD+
&M
sB>`Z5
1+(tanα)^2=(secα)^2 '~
e5 +=
s\hW$_
1+(cotα)^2=(cscα)^2 I#XI
UKi
#vs?~nyzr5
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 reyM2/f
zb_#Ep/IN
对于任意非直角三角形,总有 j:;wI/~{
ZD3wG B
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ~$bVr8238
Q .-%8JG0
证: "X+^'O2"#
w4)
A+B=π-C 3`N7YE
*"LthF?P
tan(A+B)=tan(π-C) AeJk#4w
3D2@!Rl44"
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) lFG{?3fBG
$1UyRtY{y
整理可得 Jibh7
|X=>X Hnt
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC @g]#9N
ja'=8#%
得证 9
fUG^DBy
qls<SF'Vr
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ARJ=acm x
<F[ksur
其他非重点三角函数 t,JF`bk%
n037a]S2=
csc(a) = 1/sin(a) *\[ Nca
H:uZcb&
sec(a) = 1/cos(a) w2g4xk4f
bh!1t`J0
SFMh?4DqV
#:"IGVA,W2
双曲函数 @OwH
ANm
)r}/5Hd,u
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 sZjoD} E4
(swJBenbE
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 nV')@>
9Cw]j{+go
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 9> \z#J[
KsagT9Nc
公式一: =U;T1Z
pg*&DFGL
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: g3VV!g
^y5{TQ`g{
sin(2kπ+α)= sinα (sw@h-Ywe
cBJ8+
cos(2kπ+α)= cosα d+t
\Z
k2?YY{E(
tan(kπ+α)= tanα +T;p#\Z~(
bb-TbR
cot(kπ+α)= cotα ^ +FEwj
)
Rqxu
u3#N0
公式二: |QBl/v|
',/wnG
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: jXM?`
#w\Yum
sin(π+α)= -sinα ,I&&J*b
*#u93L\
cos(π+α)= -cosα 6bH?a}Oi4
*+Dx
tan(π+α)= tanα Y#<|Hg8x
/m] R#``
cot(π+α)= cotα @c}c\Pp(%
ktzt\P<X
公式三: ,/`-"j$Q+B
~s\XZ:m
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: C/xn't
, 0-.A+GE-
sin(-α)= -sinα 5jwfw"{
8Towk#
cos(-α)= cosα $gJ=E7oP
crbFsg6
W
tan(-α)= -tanα BQKJ|
,
[B4H9
cot(-α)= -cotα |"&( AaXP
\yl{4Jw }
公式四: BwBm><^
\yCr@"Cg0
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: 30.
_"W
46{
Ol%
sin(π-α)= sinα |"om.GT7
}ZKmxHiX
cos(π-α)= -cosα jBzDFj!
>P(UaPMRy
tan(π-α)= -tanα /{b<s4
_H
8fc8TyXs
cot(π-α)= -cotα =9Ki17
pe|D_,<
公式五: @Z9C1Ae
}Wj
^Jf
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: 3T 8]:~u!
o'DJ^
sin(2π-α)= -sinα BL=}0#sGh
cV`#y3+y
cos(2π-α)= cosα _q&|H
$sJ
Q5O_?V
tan(2π-α)= -tanα bpM-XY
;7&uR s
cot(2π-α)= -cotα Z DB%MjQj
aP@/2&5
公式六: ~BF|saQ
T`I<T:*
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: ai] ~P9$Z
Izx9mqH
sin(π/2+α)= cosα u{".p
u?`a ~L8
cos(π/2+α)= -sinα @S&>
cU",/Kmj
tan(π/2+α)= -cotα $MBy&ft=|
b$>_ }74
cot(π/2+α)= -tanα <cGn|Zx'
tJELPz;z
sin(π/2-α)= cosα pPP4C5,^Xy
!D8CZO+z
cos(π/2-α)= sinα iA1=kka~
Fa ,46V
tan(π/2-α)= cotα qxb{S !x>
z{qj(xv4P
cot(π/2-α)= tanα 0(c&.u3F!
;d 4N<LB
sin(3π/2+α)= -cosα Z{tL.M_
:QHXw{N)+
cos(3π/2+α)= sinα /Hc@;sr^
4}[4I[3
tan(3π/2+α)= -cotα ~z;ft/N-_
Evf~Y)
cot(3π/2+α)= -tanα uNa{t~O/i
VBP(1=C
sin(3π/2-α)= -cosα %Z{XBh*
Sk\G.I
cos(3π/2-α)= -sinα S,E4\Pa)
i#- NfG
tan(3π/2-α)= cotα `0m~Oy
Vl7,?gx5rb
cot(3π/2-α)= tanα [$B(P K{X
. {&P}(B
(以上k∈Z) UM(\'Li.
W.4?2vdQl
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 >
(kO8M
j
j@%cE uXve
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Sdr[N5?
KSAS5$ 9
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } f9{oG"vK
-x&=x4
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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