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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 |cJ{vb  
n{(W6T*,  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. F4GsbaLf  
xSC \2Y  
　　1、三角函数本质： Fvx~eq6_  
0<1c' $.Vi  
　　三角函数的本质来源于定义 Ph*1#+!!  
PCX,PG!Vb  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 y< e`f  
*uU?1d,  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 #uR2uXz  
5~( Oj)7se  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ]"[M%o '  
QP|GU!tk_!  
　　推导： N2E>)1  
=2AFfxX6Ei  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 b*$m   
v[jA=1h  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) N= f H&}I  
N6mB[l9'/  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0)  lI+(!Fx[  
#0dJ|  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 I#;tq=  
JpX\dU){  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 1YQH^8@  
,tFa-wci  
　　[1] @aa2jv  
Fq m^)\U  
　　两角和公式 1G i+TC\Y  
~Iy=d~6jT  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB %iK^Qvi, [  
klVFoLB  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ['5Q<RM2  
<y50Gj4?Cn  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB A5XbZ=$$y  
hqL|H  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB oGos.yYR  
7|UQbYi %  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 8Vdqk`\ >  
O9 "S>M!U  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ^\%Jlq$e  
rW]|O69k  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  6X C~%!w2  
041PHT1/7  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) YE+>XYp]]  
#)5Ka;{xV'  
倍角公式 ~\$ 5 5<j  
ev N <_b  
　　Sin2A=2SinA•CosA Z.VLAI<  
xyV*LtV  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 O }W:2  
pmg!5n_>  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） [NCHw q&  
Z.(9 "VO  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 7B<oiA8  
}e6~%<X  
三倍角公式 )8n/~tqlT}  
^ghkE~  
　　 M~Gqj _5  
BX \$$F  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) [V' i$:,r  
TN\wr}e  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) rNCDQ M  
 y&ZwQ`  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) D@, )^N l  
~phP fY  
三倍角公式推导 2W,f&~j  
mhr<m  
　　sin3a vst{c@i}2B  
\1W'4  
　　=sin(2a+a) |}S9.Y4h  
#v_vS%R  
　　=sin2acosa+cos2asina ](4UCDocd  
EFm*>hHDQ  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina !t%3iUk~  
Rj |YC;$  
　　=3sina-4sin³a CD#!N\~0|  
$_[QlSAZ)  
　　cos3a bp po%7i  
r +pW4Iu6;  
　　=cos(2a+a) _tq|JE8!  
~\Z *`,  
　　=cos2acosa-sin2asina Ca )&|#T4  
l~-y f0  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa z&\lNhCq  
]-l<\W,@1  
　　=4cos³a-3cosa uUWfVJ q  
0> XQ8eO  
　　sin3a=3sina-4sin³a rh8K}L  
-:nw63_  
　　=4sina(3/4-sin²a) FL&slsMc  
`UDL5C~m/[  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] av+|e <  
3LVfqc =g  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 5Q@$)^  
F`}=-vO2 W  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) B3r !$(`|  
Rc>hcEYjsZ  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ,49w) 0I  
X8& J^5  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) O<To  
vz?%Z  
　　cos3a=4cos³a-3cosa v|KVK ;B1  
2pJCb  
　　=4cosa(cos²a-3/4) !_cI: BN  
R8|WwV}  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] L6gk4*<g  
/ ^54 d~  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) yp3Jm'  
F$}TqZI  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Q~ {WX+o  
z#6v}W1fR  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} fB_hz2  
0_y!WscKm  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) v@~cY/3  
Zo. Fgbd[  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 6I )?el  
pr*P= a6  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] K.u(u2=  
Ej0(KvsaR  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 9lDRa7?G   
?PoRJ 1  
　　上述两式相比可得 7G> gP;>*  
 MXxL()3  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Fz,Wi a-M%  
Z|)LxXYS  
半角公式 V5Kwi&8)J  
`F8YZ0)m  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); - 2$r  
( <9P}[69  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. `]!l/V)<4  
0UAcW$D50  
和差化积 eO`,iT  
L"JP<@#M0  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ZdIh7CkY  
FC|=N~  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Tz6]h".e  
WQieuLgK  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] &}9]S}N  
Z r:,D*  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Lz4*}&  
GB#W<.K28  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) -=[Qm|  
eI%d%;\|6  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) /&f'5  
x&L@g5cwT  
积化和差 N2LXxZ'>  
5f}=I#N  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ,ne`_dD<<  
c ip F B  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] pH2Q  
)[1r2%[  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] t%>xO;w  
f6H]l}TW0  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] @]qJ\  
@O5QsZ6  
诱导公式 72?x|;  
c/._h G]{  
　　sin(-α) = -sinα #VnV$dh6v  
a:%9D(kk{  
　　cos(-α) = cosα .=Cvb1Jf  
R>JjG9N;J$  
　　sin(π/2-α) = cosα p,/"[l-(|  
4I!5NI  
　　cos(π/2-α) = sinα //wf;2Q  
*jizZ? "8  
　　sin(π/2+α) = cosα |7^c2n~'  
73Y.#f#  
　　cos(π/2+α) = -sinα %E K@c25w  
A%w pW A  
　　sin(π-α) = sinα t U?DdxSG  
7>aU*qmJ  
　　cos(π-α) = -cosα pp?nEPcN  
|Z8<TP$D  
　　sin(π+α) = -sinα 0S zfAK9V  
rYK  P  
　　cos(π+α) = -cosα F.( {rj&k  
} {HQh. yF  
　　tanA= sinA/cosA %V!k'}  
mSl*39=~  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα n.7;,I_  
~#TOF"#  
　　tan（π/2－α）＝cotα mc,pH:1h  
(:BWak,  
　　tan（π－α）＝－tanα TduC e%sR  
$8oum,  
　　tan（π＋α）＝tanα [H_G_v(  
I.kgfyN#  
万能公式 mf U:a  
0YeI b4("  
　　 N| &W|v^  
/W^Kjd  
其它公式 DA[UQL  
aQ%9G ,  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 2Iq= .St  
ug4v4  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 EG-mSxN  
c$ifT`k!X  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 h# >J}>  
z[ | 3y  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 u9H>K?Zsg  
=M!?Ujj'*  
　　对于任意非直角三角形,总有 sea_IRU  
7>;PR]E  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 8wO1%D  
\oAu~k  
　　证: xpAZO-+  
v %M;gzNN  
　　A+B=π-C |S6!@<H4@[  
6l,e,g  
　　tan(A+B)=tan(π-C) abgd=*(i  
yS6r"Y  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) hyiWK  
z F<w@5  
　　整理可得 < ;8RvtQV  
B"?l8ATU  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC xo~q|F  
uAUrS6  
　　得证 C "F@ey.\  
*mu^>!>F!}  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 .Wws\4  
+X9[@htQ-  
其他非重点三角函数 h6rE#sF1]a  
Hye4O1mt  
　　csc(a) = 1/sin(a) E\8PPx  
"\`+%P1n  
　　sec(a) = 1/cos(a) ?LAX:`v  
L Mh: E}  
　　 -p'u{T_m\  
F "h.  
双曲函数 y1y[ A!Q  
WQ5 D3Y  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 K[_p1d9  
;)<Wob[  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 bo[1: 7  
i2xd'Nm:Gq  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ,Bp/^)1  
{ [v@{4;?#  
　　公式一： qNPHkyMy##  
f[H]K1fTC  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 'Flow$r[  
M KX"-"A  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 4lS !7V  
ucioET @  
　　cos（2kπ＋α）= cosα =D]^VdI*u  
hMOmAJ  
　　tan（kπ＋α）= tanα 19,}yTqWM  
q\* )f  
　　cot（kπ＋α）= cotα _]Q-hfX%]  
,f<9_  
　　公式二： <y1HGy-n  
]cz 7`  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 9jumA\O  
vsW^$O\  
　　sin（π＋α）= -sinα $| 9}^9  
QSJY]z  
　　cos（π＋α）= -cosα N,YSmKcd  
Dv^An\lB  
　　tan（π＋α）= tanα ;Es 1Jb@  
4Colx6 .~  
　　cot（π＋α）= cotα /I)i%?8n!  
4[#nTA\+  
　　公式三： xb5{Y  
MR2ER7HX  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 2+D&g-  
)%"5wlP w  
　　sin（-α）= -sinα 1!n<O  
E~IYJQ-7  
　　cos（-α）= cosα mz= >tH  
m}ENc  
　　tan（-α）= -tanα *?Gduf{2u  
%JNw.`bp@c  
　　cot（-α）= -cotα >&yQsk`G  
2Io/0;wlB  
　　公式四： h} aQi6  
p/VC1l)  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ff[1'uLg  
zFd9K=Q"w  
　　sin（π-α）= sinα Z-t3#$ '  
Jg|Uj{snd  
　　cos（π-α）= -cosα J*;GUzG7  
W.kle2P  
　　tan（π-α）= -tanα (petys\p(  
?p_P.AEU  
　　cot（π-α）= -cotα uhx W<F  
t7j9UdFsS  
　　公式五： LI2y,Q  
P;sN#  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： OI1AY`%iz  
`xrs+'&  
　　sin（2π-α）= -sinα ,e&tL\rq:5  
UpYnz}+:;  
　　cos（2π-α）= cosα %__c`ZQ`Qd  
4-iEQ)  
　　tan（2π-α）= -tanα 4co:<yV5Z  
kM86p  
　　cot（2π-α）= -cotα g @ %TE  
QA/}T!D'  
　　公式六： `"GgO/9.  
2x\%?k  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： cI]JHtVu  
t4m7DY |h  
　　sin（π/2+α）= cosα <w[l _1JU8  
8wQ[>Y]s  
　　cos（π/2+α）= -sinα y#\9]\tb  
h- yS Z  
　　tan（π/2+α）= -cotα ({zYo1Sx  
~;B,,[vmW  
　　cot（π/2+α）= -tanα N1sEr `Y2  
=4_FJPMY  
　　sin（π/2-α）= cosα B4I_&Q  
W_5tSiF  
　　cos（π/2-α）= sinα ~t4@8eUmt  
v]s b?={h  
　　tan（π/2-α）= cotα C vUoOY"  
pW)Rrh ~  
　　cot（π/2-α）= tanα D"t,J gx~  
hc:g'0u.  
　　sin（3π/2+α）= -cosα j7i@.Q&  
*2{i"(f>Y  
　　cos（3π/2+α）= sinα  xe#{D$  
8}o]T3V}>o  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ;E& c|  
bk>m Y &  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 13tzp0|C  
!*d xj;+$  
　　sin（3π/2-α）= -cosα &5r259p!  
K6(48m57,  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 1nhxS2f  
*\Sp8+  
　　tan（3π/2-α）= cotα ^3 Pe$)U  
0T =<  
　　cot（3π/2-α）= tanα ^k]CWo(7  
k:n9S9\ aE  
　　(以上k∈Z) 2p4WHFTy  
JyI+V>>  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 8,k;|H  
x{,$5J  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = f^Q;PJ  
x,Xk26w  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } yS Wace  
#XLOrumE  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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