三角函数内容规律 wUZI.L
~&0+r:"a
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ~mb8C L
`Rj=dM%:
1、三角函数本质: A"/RbA)7
z<-Q\Q{I
三角函数的本质来源于定义 'gSY]Hz5
,
}g(
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 ` o0]QPs
zE$l
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 ~"W{92lo4
|)usI<<)B
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: ]mA~cmr96
$EbQ F
推导: UTN.}O-
#/WCN{
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 \S 68/S#
vh|O{MJXV
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) mHivzfwO
&H_yfI
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 5UcS\t
e4 .S1\Hz
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2
^ 9?':
J',1`.:s
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2)
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SbOtE8{+<
[1] j
b<FI&
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两角和公式 j:kSiigy
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sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 56xa[j
rOJ,s<w+[j
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB *r{;8^ h
c|I;N6A
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB @ rb. Y
#uEvR
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
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~UG9)lqx
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) {it!
ER_a
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) {CFo9'!V2
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cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) ikMUpOU
[,bZr3u
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) })gd:ne
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倍角公式 ]@X-2"
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2=C27<y %
Sin2A=2SinA•CosA ;l;]+ 8M
?$&|@7}[D
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 dFW-ee>z!
2n|S{-t
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) |_C6kN] [
];@n&4=_,B
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) ?%^CD~T-
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三倍角公式 o`QB_1
q31!dN'&ai
`Cp7HR g
!CcnjQ~?/n
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) WY#2!Y)^:
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cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) n/_iT{S
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tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) .Aql)
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三倍角公式推导 K]/jL/
Dx| #1xh
sin3a G#QHe-
%%uN3[aPZ
=sin(2a+a) W&H[r:#'
Zv^MQWe(
=sin2acosa+cos2asina 5(x]]%
2wHZ8<8#
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ds7Zxw~
{=)vLN<Lui
=3sina-4sin³a ;rb?B3x&d
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cos3a <%MNlL+|
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=cos(2a+a) f#wdn%
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=cos2acosa-sin2asina d|ntgwGH
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=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa sVtk@'_Gi
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=4cos³a-3cosa jGzGd'h2
x:]x@N7,w
sin3a=3sina-4sin³a !
a:D"sP
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=4sina(3/4-sin²a) i{o>$_!
Bm:=/e_-
=4sina[(√3/2)²-sin²a]
Ca-55dh
?}_*QsqS
=4sina(sin²60°-sin²a) Pd%1c
S9=,^
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) )i5zf(-q$
{&\jB}VT
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] Zay{3_
fu+i:|N;CX
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Wf LI6uD
$xTD 5nv
cos3a=4cos³a-3cosa D'!BXu=zM:
EC
=,
=
=4cosa(cos²a-3/4) f6;= $
J-a*Bh?
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] rY b![Ss2
NL`{IC!%;
=4cosa(cos²a-cos²30°) Mnu7Ym^ }
KE1L@fx_1.
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Q:V[y=p9
\KoI\1OHW
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} R<$ezUa
n!|:z"
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ` 18:sy
2dpas[y
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] L?;g$o
rO&C W{
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] SrD.
Wr
dZL+A01/=
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) U8]Nm[@
W"46d.V3
上述两式相比可得 0Vx^S'
uoAzP_Kh
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) IZb*`^,"h
,j(rtP*
2
半角公式 xk5xL"#
RsCN#f'wS
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ez
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F,Jpu[O A
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 8Ha`16d
L\LOM6a
和差化积 tU<AOIq}
@%*6Z`Jj
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] $k
WUUN
3I
!.G
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] OK0}qc(
r
1zx@Dkc;
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] mS/YlO^G9
u48x'S@a
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] r"OF4,~v
mcLujE
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) \w5%.8A
"FXntz5
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) p'!cS4^2
E&JQIr<Z5
积化和差 a(,n9K*R3m
U58vt b
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 1Z?,C8g`)
]:&C$&5
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 9VPQcm w
4~.gF:NQE
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 5 {:I BVR
CJQx"i0-M
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] s(G
v[?:Rr
B>Z$O
诱导公式 s 9j3y
l}n(W,ws
sin(-α) = -sinα Ijhi#t4,
$q60i\Ee
cos(-α) = cosα 4*%sbEBltN
B_N6'm}
sin(π/2-α) = cosα 0C=\W
MN"!xmI6
cos(π/2-α) = sinα T^aR 1{:K.
iB|~2SW$B
sin(π/2+α) = cosα ,@hsa[%6g
P}=
cos(π/2+α) = -sinα `Jx-2y{=
b&4;yiCp
sin(π-α) = sinα \*&^%lYu
3RD0cink
cos(π-α) = -cosα W3TpMS
U3_3MpB!
sin(π+α) = -sinα ,!*Xy-XGg
qOCqRbJ
cos(π+α) = -cosα 1h8+V&m
U
v\<x}tII4
tanA= sinA/cosA tG8
yed&u
HhC7<\!
tan(π/2+α)=-cotα D~:(EI /
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tan(π/2-α)=cotα A\`ZD+\v
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tan(π-α)=-tanα Ug+_tyK~
p!WWH T%
tan(π+α)=tanα oF4U!k2
3V_Q4&J}T!
万能公式 TcJ4C ;6
`!f]F 9
h+h ^r
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Ck'(21@EZ
其它公式 *m-O(mgY/
c`pNb6
(sinα)^2+(cosα)^2=1 86qy\0
^#q\srxn
1+(tanα)^2=(secα)^2 <EZ?=}'cL
%
/ %h
1+(cotα)^2=(cscα)^2 ={pOQYYn
?R}<`P\3
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 QGedCI-
ski# X'QD
对于任意非直角三角形,总有 |QOD'Q]X
k~]e[2O#f
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC `Cv]< |