三角函数内容规律 XfTx!ez
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三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 5tLgNM4b
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1、三角函数本质: <Kn ~+V4Q
a=,;lL_s
三角函数的本质来源于定义 _ Y'rSPc
FJE}r6S'
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 6hyhg-_LC
}[2Q^L32_7
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 pI)
%'h
F5;cUM.
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: Fb
+4L`I|T
iEk9fdF2r
推导: |ELbJ~
99T]X+h;
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 T:y;73
+^ G,[_(
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ]mn;)SX
(`UG$|
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) LJ6$.Rr^s
z>BtW3G~\
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 .SeN s@f}
XM"L)D
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) -*o6p1
=
v4GtF!;Pp@
[1] us>-iO$R
0\'[++
两角和公式 [e=P&{,{7
Ug/W<~ l
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB :@xb&.Xy
a6Bv7b"x
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB |Fv2q!
y
`p6Ci)
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB kFa!~*]P
ed/jl.u
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB hI
B(
bK17BoP
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) i`aj2
\AJR
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) >:0;Jvxk8d
*9B}hK7
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) r{Jw#
^.BZk
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) lf"A 2W
]:-Zx<:
倍角公式 ]
Owfq_
H
2'-
Sin2A=2SinA•CosA o(IKEDbsi
EIsaE
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 {WhoRR+{i
@8 Ip,#
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) ;R>GA9
V8/qJm[k@
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) \A8@Uo5
R!k|7?:}B
三倍角公式 \^p<1SGU
@'qfKuAn_
[Mi1&yX0il
WLIo-v4
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) q
Qa:o.
KG#0<5y
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 6P1!`R&
+":;y%c
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) s1ow*,@
3:X
=OI
三倍角公式推导 c
!MfD
rNeMXN\
sin3a z?_O!I4
^3<$\vv
=sin(2a+a) x5y 3+c
Z |
p;R
=sin2acosa+cos2asina Z2/3d*0Q
st>YuJ<H
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ,1\..)1j
^<fW)SYw
=3sina-4sin³a {|yN2?
@q3
QN1Bp6>H8
cos3a @V C_v*Q
X"s%
<F]
=cos(2a+a) MDh{}t
p#U`
63J
=cos2acosa-sin2asina
n9F.z]bT
Qcm&->06%n
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa _|dxW Pl
NE)E%qwQ
=4cos³a-3cosa 7OI_+b9.D
jA96Aud3I]
sin3a=3sina-4sin³a .:x!?\47
rX-8
^9t
=4sina(3/4-sin²a) 82 xp7kR
1*!aJF^5
=4sina[(√3/2)²-sin²a] sa G
Gn!&9SNw
=4sina(sin²60°-sin²a) |sJ!(eF;
uils5Ft
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Y18[K7
G P^Z=8
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] xV[ +LF
x<"E_J^
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) w;RGt|-
`
4 WCf<
cos3a=4cos³a-3cosa YF'PS^H&P
5)Y{gzd
=4cosa(cos²a-3/4) w!8bj
Q'3MD-3~
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] xq*K|"Wi.
5**+ji9_Q
=4cosa(cos²a-cos²30°) Q_d[oaub
[iWdiUM_q
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) gQik$^FC
:8<-#<:]#
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ehzQs0i
h"q_2Z$9O
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) O$<ieD)
>
)VE[!U
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] f0|*S
VPS c15+
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] -/J)H>
X52 YEn
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) - X]X<^+j
S^"Gj#
上述两式相比可得 &[zp]O"cuG
|nV+U')
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) k6y>j0t
W
cEYN
半角公式 4N4ZN 8
^taRaq.q
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); wti,#jj
J
Jo.M%C;?~
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. @!3P]?&(
f=)3#T'g*
和差化积 Sre \SL\0V
1W )O&7
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] .@$Jl1-E
zo:Bc%
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] #
zs={2-[R
TP/Mb)>G%>
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 82ReS%Sr
+l>Yn!f
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ^ NC{z&`
vn;n*l
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) &\q h#PH
]siL{`ZZ
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) zm iS:f
XT0l b=aE
积化和差 ^K
b0O`
fv48*YGMBm
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] *xdP)I}Dr,
R}$b;&2A
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] _{|BS|UV
C@] 3{$]
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] V+*L|p
O<j(a]CH&
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] `^.UENf
9eh?{z!
诱导公式 (:Iq
;s
7Pk 6^&zR
sin(-α) = -sinα 2w#~2YPK6
l|:X*MwL
cos(-α) = cosα @5epfdu
C6-/tJ
dk
sin(π/2-α) = cosα +}]s2r~r
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cos(π/2-α) = sinα bU@*
] ]^j4kl!
sin(π/2+α) = cosα <#L|`
1_P
N 6Rp)til;
cos(π/2+α) = -sinα
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sin(π-α) = sinα Ck
9fsc
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CXxQtf
cos(π-α) = -cosα F
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sin(π+α) = -sinα }M'kFJZ
1d@nuiPF
cos(π+α) = -cosα K;,~O=)
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tanA= sinA/cosA 3}kLxR<2j
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tan(π/2+α)=-cotα LDX5`{@,=0
eS/}5F)C
tan(π/2-α)=cotα Y)7.)P#
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tan(π-α)=-tanα x:2D)DnW
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tan(π+α)=tanα W?;\@u
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万能公式 )
LxQIXI+Y
C,dGfc0}d
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其它公式 GB w}TgM[^
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(sinα)^2+(cosα)^2=1 9)1
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1+(tanα)^2=(secα)^2 T~
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1+(cotα)^2=(cscα)^2 H9v-
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N=Fk(
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证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 g74 ~fr*
.]dV.V2q F
对于任意非直角三角形,总有 d#R6@FO?X
eWE& |