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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 Xf Tx!ez  
tzk L2};  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 5tLgNM4b  
ouIgDX  
　　1、三角函数本质： <Kn~+V4Q  
a=,;lL_s  
　　三角函数的本质来源于定义 _ Y'rSPc  
FJE}r6S'  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 6hyhg-_LC  
}[2Q^L32_7  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 pI)  %'h  
F5;cUM.  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Fb +4L`I|T  
iE k9fdF2r  
　　推导： |ELbJ~  
99T]X+h;  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 T:y;73  
+^ G,[_(  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ]mn;)SX  
(`UG$|  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) LJ6$.Rr^s  
z>BtW3G~\  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 .SeN s@f}  
 XM"L)D  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） -*o6p1 =  
v4GtF!;Pp@  
　　[1] us>-iO$R  
0\'[++  
　　两角和公式 [e=P&{,{7  
Ug/W<~l  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB :@xb&.Xy  
a6Bv7b"x  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  |Fv2q!  
y `p6Ci)  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB k Fa!~*]P  
ed/j l.u  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB hI B(   
bK17BoP  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) i`aj2  
 \AJR  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) >:0;Jvxk8d  
*9B}hK7  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  r{Jw#  
^.BZk  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) lf"A 2W  
]:-Zx<:  
倍角公式 ] Owfq_  
H 2'-  
　　Sin2A=2SinA•CosA o(IKEDbsi  
EIsaE  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 {WhoRR+{i  
@8Ip,#  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ;R>GA9  
V8/qJm[k@  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） \A8@Uo5  
R!k|7?:}B  
三倍角公式 \^p<1SGU  
@'qfKuAn_  
　　 [Mi1&yX0il  
WLIo-v4  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) q Qa:o.  
KG#0< 5y  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 6P1!`R&  
+":;y%c  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) s1o w*,@  
3:X =OI  
三倍角公式推导 c !MfD  
rNeMXN\  
　　sin3a  z?_O!I4  
^3<$\vv  
　　=sin(2a+a) x5y 3+c  
Z| p;R  
　　=sin2acosa+cos2asina Z2/3d*0Q  
st>YuJ<H  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ,1\..)1j  
^<fW)SYw  
　　=3sina-4sin³a {|yN2? @q3  
QN1Bp6>H8  
　　cos3a @V C_v*Q  
X"s% <F]  
　　=cos(2a+a) MDh{}t  
p#U` 63J  
　　=cos2acosa-sin2asina n9F.z]bT  
Qcm&->06%n  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa _|dxW Pl  
NE)E%qwQ  
　　=4cos³a-3cosa 7O I_+b9.D  
jA96Aud3I]  
　　sin3a=3sina-4sin³a .:x!?\47  
rX-8 ^9t  
　　=4sina(3/4-sin²a) 82 xp7kR  
1*!aJF^5  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] sa G  
Gn!&9SNw  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) |sJ!(eF;  
uils5F t  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Y18[K7  
G P^Z=8  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] xV[+LF  
x<"E_J^  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) w;RGt|- `  
4WCf<  
　　cos3a=4cos³a-3cosa YF'PS^H&P  
5)Y{gzd  
　　=4cosa(cos²a-3/4) w!8bj  
Q'3MD-3~  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] xq*K|"Wi .  
5**+ji9_Q  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Q_d[oaub  
[iWdiUM_q  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) gQik$^FC   
:8<-#<:]#  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ehzQs0i  
h"q_2Z$9O  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) O$<ieD) >  
)V E[!U  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] f 0|*S  
VPS c15+  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] -/J)H>  
X52 YEn  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) - X]X<^+j  
S^"Gj#  
　　上述两式相比可得 &[zp]O"cuG  
|nV+U')  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) k6y >j0t  
W cEYN  
半角公式  4N4ZN 8  
^taRaq.q  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); wti,#jj J  
Jo.M%C; ?~  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. @!3P]?&(  
f=)3#T'g*  
和差化积 Sre \SL\0V  
1W )O&7  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] .@$Jl1-E  
zo:Bc%  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] # zs={2-[R  
TP/Mb)>G%>  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 82ReS%Sr  
+l>Yn!f  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ^ NC{z&`  
vn;n*l  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) &\q h#PH  
]siL{`ZZ  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) zm iS:f  
XT0l b=aE  
积化和差 ^K b0O`  
fv48*YGMBm  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] *xdP)I}Dr,  
R}$b;&2A  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] _{|BS|UV  
C@]3{$]  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] V+*L|p  
O<j(a]CH&  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] `^.UE Nf  
9eh?{z!  
诱导公式 ( :Iq ;s  
7Pk 6^&zR  
　　sin(-α) = -sinα 2w#~2YPK6  
l|:X*MwL  
　　cos(-α) = cosα @5epfdu  
C6-/tJ dk  
　　sin(π/2-α) = cosα +}]s2r~r  
Ev'S s|  
　　cos(π/2-α) = sinα bU@*  
] ]^j4kl!  
　　sin(π/2+α) = cosα <#L|` 1_P  
N 6Rp)til;  
　　cos(π/2+α) = -sinα C^"4o  
!kxb&4-Z  
　　sin(π-α) = sinα Ck 9fsc  
< CXxQtf  
　　cos(π-α) = -cosα F +o@lS]  
Y>4)']6o  
　　sin(π+α) = -sinα }M'kFJZ  
1d@nuiPF  
　　cos(π+α) = -cosα K;,~O=)  
X5PBefo  
　　tanA= sinA/cosA 3}kLxR<2j  
 &"@  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα LDX5`{@,=0  
eS/}5F)C  
　　tan（π/2－α）＝cotα Y)7.) P#  
X*HnAQ&R  
　　tan（π－α）＝－tanα x:2D)DnW  
 !8UI\J  
　　tan（π＋α）＝tanα W?;\@u w5  
{/F?"dd$  
万能公式 ) LxQIXI+Y  
C,dGfc0}d  
　　  4}FFmq  
[?3 `3iV  
其它公式 GB w}TgM[^  
T4nkU7c  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 9)1 Z z   
5I7TJ> Qv  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 T~ O&]  
rQ[PQ)[j  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 H9v- oc9q  
N=Fk( /sn  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 g74 ~fr*  
.]dV.V2qF  
　　对于任意非直角三角形,总有 d#R6@FO?X  
eWE&|sE  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC vg?/SW}J"g  
iH>J[i)G3  
　　证: t[ "o+w  
97$y;UHH*  
　　A+B=π-C []3~+r{Q7  
cQ Pu\  
　　tan(A+B)=tan(π-C) EKHhcc  
cy6A?*2UL>  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) b@=-le  
Z u- voz  
　　整理可得 .>O"46  
J'*3c  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC }c)l~& YT  
cCaL(N_xd  
　　得证 ?i#%@,!O4  
:. PBM1?  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 kJtMmyfX  
)W5 {/%  
其他非重点三角函数 &zE]VMI;  
xJB  
　　csc(a) = 1/sin(a) v*VX.BhGq=  
Mw?(R{  
　　sec(a) = 1/cos(a) 1nvN,QKf  
\,GYka+,  
　　 %U+=x$G_<  
O_,m\]{b  
双曲函数 ){xy"#;T  
KLRVwouVs  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 *:-% .i@m  
yzJGbi  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Y2?Y=,+  
=!dWjUl  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) wiC</,)&A  
JKQ=Rf  
　　公式一： i{=Z 1*y  
Mh=C/Cvt  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： jP~NQe  
)/-v"c-  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 3 ohRh[  
h6#LS',  
　　cos（2kπ＋α）= cosα #HHX^}p  
?BpZetQo3  
　　tan（kπ＋α）= tanα t,`_8z#  
-%ait^]AB  
　　cot（kπ＋α）= cotα %H9 o~f<  
H>c"h`&-  
　　公式二： ~~EmXFYh  
(;S6KSupv  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： V?)#d~:  
l2I HR-rW  
　　sin（π＋α）= -sinα @/Hm|NCP  
jxp5P! tc  
　　cos（π＋α）= -cosα B\1@1Sq]0  
l&&mc  
　　tan（π＋α）= tanα ,dg+Mg V  
P$QEiz=  
　　cot（π＋α）= cotα g'2,&  
! OB"|xw  
　　公式三： #4QTXPL  
OCs"=sre7U  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： j[\(`9k   
HyJ2 E=  
　　sin（-α）= -sinα "-:1U{  
ff/tW^  
　　cos（-α）= cosα vr&oJ/}-  
;,[H}f{  
　　tan（-α）= -tanα $=\25af  
~y [0}ZU  
　　cot（-α）= -cotα x#p2=Pe  
dL9 PG;n  
　　公式四： UR%8K^v  
* ;?Zt  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： <"B   
NWPW?T!  
　　sin（π-α）= sinα f=iJahVI  
Hp.~973f  
　　cos（π-α）= -cosα T63-N~PD[>  
oQ2'>=0 vV  
　　tan（π-α）= -tanα QI>Y\Q  
!m]|eTO  
　　cot（π-α）= -cotα 4>*{1nw  
9>9"8yT[6  
　　公式五： 5=G*{)6 M  
t-b0^!h<Z_  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Hb"2)U/E9  
2lc dUo[  
　　sin（2π-α）= -sinα wFL7}C5"  
*:qW t  
　　cos（2π-α）= cosα Y\t4Z>n8  
Rut,TXwK  
　　tan（2π-α）= -tanα st'X<,c  
j;.zu}]t  
　　cot（2π-α）= -cotα ?( %;NZ%  
VR8^;H  
　　公式六： RUz9-kGq\  
Q&8 1c}V]m  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： [?8L'FJg<  
}g=e>  
　　sin（π/2+α）= cosα _,Ww  
e9] J  
　　cos（π/2+α）= -sinα Zd{XV j  
u NyFzt+  
　　tan（π/2+α）= -cotα P"zsGg6z  
VG:HS5WG*  
　　cot（π/2+α）= -tanα ,V`.cA c  
34 D 1!  
　　sin（π/2-α）= cosα lCK,\ H+  
x V.j` `c  
　　cos（π/2-α）= sinα Tt\L0 d5S  
>i StEL  
　　tan（π/2-α）= cotα yvE8 }4z  
U 4*.\~qL  
　　cot（π/2-α）= tanα OGtQw}B9  
wC [oFb@'  
　　sin（3π/2+α）= -cosα @lk6*z^  
t8IsP6$}F  
　　cos（3π/2+α）= sinα J[PDHgg@  
RKz?/So  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 1u|.zv  
ve46$~6  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ^8Wst"  
,A9p&fR  
　　sin（3π/2-α）= -cosα V3>7 J.z  
vCnX~(p~  
　　cos（3π/2-α）= -sinα DZd4I96`{  
0>hJn/\,E  
　　tan（3π/2-α）= cotα m Lk  
nQu|gPoz  
　　cot（3π/2-α）= tanα OxE[24  
/~w@m=/J  
　　(以上k∈Z) < #-@d?-r  
:8R~cF)  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 >vL4Ga:,&  
)H5f(  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = )Yc~s  
Po \z  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } |! ,z~NP  
6FYPyv+\jN  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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