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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 wUZI. L  
~&0+r:"a  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ~mb8CL  
`Rj=dM%:  
　　1、三角函数本质： A"/RbA)7  
z<-Q\Q {I  
　　三角函数的本质来源于定义 'gSY]Hz5  
, }g (  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 ` o0]QPs  
 zE$l  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ~"W{92lo4  
|)usI<<)B  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ]mA~cmr96  
$EbQ F  
　　推导： UTN.}O-  
#/WCN{  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 \S 68/S#  
vh|O{MJXV  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) mHivzfwO  
&H_ yfI  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0)  5UcS\t  
e4 .S1\Hz  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ^9?':  
J',1`.:s  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） e 5M20  
SbOtE8{+<  
　　[1] j b<FI&  
xK6oJ ~  
　　两角和公式 j:kSiigy  
V%3.*+$  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 56xa[j  
rOJ,s<w+[j  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  *r{;8^h  
c|I;N6A  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB @ rb.Y  
#uEvR  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB :+BI_=Wp  
~UG9)lqx  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) {it!  
ER_a  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) {CFo9'!V2  
_M{HZ8Q  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ikMUpOU  
[ ,bZr3u  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) })gd:ne  
7{&eARS  
倍角公式 ]@X-2" /=  
2=C27<y%  
　　Sin2A=2SinA•CosA ;l ;]+8M  
?$&|@7}[D  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 dFW-ee>z!  
2n|S{-t  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） |_C6kN][  
];@n&4=_,B  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ?%^CD~T-  
d6c0W`i5  
三倍角公式 o`QB_1  
q31!dN'&ai  
　　 `Cp7HR g  
!CcnjQ~?/n  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) WY#2!Y)^:  
FNd|B7A  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) n/ _iT{S  
4:TKJp)WH  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) .Aql)  
&~>j5}/]  
三倍角公式推导  K]/jL/  
Dx| #1x h  
　　sin3a G#QHe-  
%%uN3[aPZ  
　　=sin(2a+a) W&H[r:# '  
Zv^MQWe(  
　　=sin2acosa+cos2asina 5(x]]%  
2wHZ8<8#  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ds7Zxw~  
{=)vLN<Lui  
　　=3sina-4sin³a ;rb?B3x&d  
]+>TKr3 m  
　　cos3a <%MNlL+|  
_L 4{ 0  
　　=cos(2a+a) f #wdn%  
y@?;hww  
　　=cos2acosa-sin2asina d|ntgwGH  
VMO#LH1d  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa sVtk@'_Gi  
`Fo49y iR  
　　=4cos³a-3cosa jGzGd'h2  
x:]x@N7 ,w  
　　sin3a=3sina-4sin³a ! a:D"sP  
U8FD7q}H  
　　=4sina(3/4-sin²a) i{o>$_!  
Bm:=/e_-  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Ca-55dh  
?}_*QsqS  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Pd%1c  
S9=,^  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) )i5zf(-q$  
{&\jB}VT  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] Zay{3_  
fu+i:|N;CX  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Wf LI6uD  
$xTD 5nv  
　　cos3a=4cos³a-3cosa D'!BXu=zM:  
EC =, =  
　　=4cosa(cos²a-3/4) f6 ;= $  
J-a*Bh?  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] rYb![Ss2  
NL`{IC!%;  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Mnu7Ym^}  
KE1L@fx_1.  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Q:V[y=p9  
\KoI\1OHW  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} R<$ezUa  
n!|: z"  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ` 18:sy  
2dpas[y  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] L?;g$o  
rO&C W{  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] SrD. Wr  
dZL+A01/=  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) U8]Nm[@  
W"46d.V3  
　　上述两式相比可得 0Vx^S'  
uoAzP_Kh  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) IZb*`^,"h  
,j(rtP* 2  
半角公式 x k5xL"#  
RsCN#f'wS  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ez lj0fX  
F,Jpu[O A  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 8Ha`16 d  
L\LOM6a  
和差化积 tU<AOIq}  
@%*6Z`Jj  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] $k WUUN  
3I !.G  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] O K0}qc(  
r 1zx@Dkc;  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] mS/YlO^G9  
u48x'S@a  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] r"OF4,~v  
m cLu jE  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) \w5%. 8A  
"FXntz5  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) p'!cS4^2  
E&JQIr<Z5  
积化和差 a(,n9K*R3m  
U58vtb  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 1Z?,C8g`)  
]:&C$& 5  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 9VPQcm w  
4~.gF:NQE  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 5{:I BVR  
CJQx"i0- M  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] s(G v[?:Rr  
B>Z$O  
诱导公式 s9j3y  
l}n(W,ws  
　　sin(-α) = -sinα Ijhi#t4,  
$q60i \Ee  
　　cos(-α) = cosα 4*%sbEBltN  
B_N6'm}  
　　sin(π/2-α) = cosα 0C=\W  
MN"!xmI6  
　　cos(π/2-α) = sinα T^aR1{:K.  
iB|~2SW$B  
　　sin(π/2+α) = cosα ,@hsa[%6g  
 P}=  
　　cos(π/2+α) = -sinα `Jx-2y{=  
b&4;yiCp  
　　sin(π-α) = sinα \*&^%lYu  
3RD 0cink  
　　cos(π-α) = -cosα W3TpMS  
U3_3MpB !  
　　sin(π+α) = -sinα ,!*Xy-XGg  
qOCqRbJ  
　　cos(π+α) = -cosα 1h8+V&m U  
v\<x}tII4  
　　tanA= sinA/cosA tG8 yed&u  
HhC7<\!  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα D~:(EI/  
~TW9+RUb  
　　tan（π/2－α）＝cotα A\`ZD+\v  
X2_Qiqz  
　　tan（π－α）＝－tanα Ug+_tyK~  
p!WWH T%  
　　tan（π＋α）＝tanα oF4U!k2  
3V_Q4&J}T!  
万能公式 TcJ4C;6  
`!f]F 9  
　　 h+h^r &  
Ck'(21@EZ  
其它公式 *m-O(mgY/  
c`pNb6  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 86qy\0  
^#q\srxn  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 <EZ?=}'cL  
% / %h  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ={pOQYYn  
?R}<`P\3  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 QGedCI-  
ski# X'QD  
　　对于任意非直角三角形,总有 |QOD'Q]X  
k~]e[2O#f  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC `Cv]<~  
* 3PT\#~  
　　证: /ijp2k  
$FWB*A-  
　　A+B=π-C y@K'L#g  
>gHiHk  
　　tan(A+B)=tan(π-C) j~u!N%B~  
Rj='?0  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 0s-Ebsuna  
7( %bW(DJT  
　　整理可得 R6 # Jf  
HOgBx  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC rRuX)V;d  
O$o{@L"  
　　得证 s>]#fVU+  
] [!. _c  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 %\ZL>jaG  
|Xu]lTTX  
其他非重点三角函数 Qe :_U{^a  
avGY e9 e4  
　　csc(a) = 1/sin(a) * D-~c  
e, XPY+o-<  
　　sec(a) = 1/cos(a) ^+Lk6/H  
uKuXx=m8.  
　　 /Y6SJOW'I  
P*Z<b#y*  
双曲函数 R %h+l  
^L.l  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 c55s =o0  
'm1?eU=  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 cnR201  
A.*JPt7C  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) r^- ;(.!  
"RaXQA 3  
　　公式一： KW{%<Y1}  
`0'G cc_$  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： VjB_:#@  
a\KLM[*  
　　sin（2kπ＋α）= sinα -KU#Cf $1  
J nUt`R9  
　　cos（2kπ＋α）= cosα zK%[_'#Lc,  
3)9XDW*{  
　　tan（kπ＋α）= tanα |:XGAj  
4)]Wk@O  
　　cot（kπ＋α）= cotα w )='  
`($:<1  
　　公式二： MSXlm)[}=  
{Oj+r=4L  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： CR#,oKqZ  
XX Xex}|t  
　　sin（π＋α）= -sinα Vny@=,Wi8  
9TK3d7Y9v  
　　cos（π＋α）= -cosα pXCWLb4<?  
-OPod&;L  
　　tan（π＋α）= tanα WWX67tWgJ  
P 8k u8d  
　　cot（π＋α）= cotα f/_2e  
S@RGFT{RM  
　　公式三： TO}<:E_0  
7nbRGy  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： AVc<1o`  
cPz0)Nq1  
　　sin（-α）= -sinα Oz|uH[7  
0 |7omh  
　　cos（-α）= cosα 'M +Ot5vC  
oh 4Q  
　　tan（-α）= -tanα mJd,"2fX[  
z # cqu  
　　cot（-α）= -cotα eM%]&B=  
UOzL$zAv  
　　公式四： Fr'5[*U&  
5G(S_/  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： $'3T` C[]  
%Z^Ba9'lF  
　　sin（π-α）= sinα h[ [Bi!Vi  
)&uB] 0i>:  
　　cos（π-α）= -cosα l E*5kp  
v@?YtO?  
　　tan（π-α）= -tanα 1_3gX1js  
rZdSB||56r  
　　cot（π-α）= -cotα r-'Jc[ cXX  
~)ttG|Gk=?  
　　公式五： B0[&jG_Q  
? }w/I:  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ig$|M`U7p  
=`,[d!Ku  
　　sin（2π-α）= -sinα >5|Iamx*v  
6S \j"T  
　　cos（2π-α）= cosα .1@N =H  
0Ayf?[l-Rz  
　　tan（2π-α）= -tanα )!4@SGR  
GO.q-1p  
　　cot（2π-α）= -cotα >MY.#pYz  
F:i_vKU  
　　公式六： -TOR$!YY5  
n{_{?mRX}  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： /? 1_/{  
%tu[{gk_lx  
　　sin（π/2+α）= cosα Q &wt6=e=  
_3\34:,6  
　　cos（π/2+α）= -sinα a/j L  
J;_=16R3  
　　tan（π/2+α）= -cotα +hl9lq>cd  
rx PV%-@_  
　　cot（π/2+α）= -tanα -Em3#|r7  
laMl#c` O_  
　　sin（π/2-α）= cosα <~[_ $:w  
F4CI72z ;  
　　cos（π/2-α）= sinα Vg6@WLca  
`t+O%Y)XF  
　　tan（π/2-α）= cotα 09cYRG+  
}[uQ@]y64  
　　cot（π/2-α）= tanα gZ tJc,T  
wBz C%D  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ,fM}~hs)t  
bxLFN  
　　cos（3π/2+α）= sinα ^? WG P  
 nl&2V3E  
　　tan（3π/2+α）= -cotα l:% ZF6(  
OF4 /jHS(  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ;9*B4cy\  
PC9lzwP+s  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 6_D= HJrS  
,_=<_$<4  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 53t0f*D~z  
3;en$!  
　　tan（3π/2-α）= cotα \ot NHR  
TViu <  
　　cot（3π/2-α）= tanα p`OrW`g0F  
,?jrC:j  
　　(以上k∈Z) !Z f X  
a 4U> 0  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 I:XP&1G  
u4%rI6!F  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 2"0LtQ(Q  
Y" r zQ'  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } \.$3(G,<  
es)b/SH  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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