日历

2025 - 6
日 一 二 三 四 五 六
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
2930     
«月» 2025 - 6 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 nW/<'N77  
*gr*w=  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. /pm&Aom)X  
1N T>w,0  
　　1、三角函数本质： n Z+0 %  
TF ]FQY  
　　三角函数的本质来源于定义 jUC@#^  
1;E^V5|  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 pPn^ fO?  
3]|-hE`Ey  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 1njGfK  
8EOcfB%mb  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： _LCut,>!  
4=!(#>dS%  
　　推导： o>- ,  
6c'<|0&R%  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 s"S"&!CD1  
zgdg  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ]86cqPPt  
(  N   
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Q$=n  
?GZ9,%~  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 V7N9(ITV  
5H*Yido  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） TLoM#G/A  
EW2UU~pOl  
　　[1] [o#h1QBPE  
,lDJWGs,  
　　两角和公式 Qx"+  
PAJEB!RP:  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB i" l'`JC  
$YSt;vn  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  RF<3"SV'  
,b>_5wr  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB M~DXzh@9  
xD:8W[.  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 9 4^zIm%  
P_NekS  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) gb>7F~M~  
b<6@jKX  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ~$GM:bq  
_As @;(  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  s'~z6c~1;  
%w$( zWv  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Ff?h:_|(  
n"}p)P1  
倍角公式 O, co  
Z> t3I  
　　Sin2A=2SinA•CosA ZVK# gz#P  
:rV#rKd4  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 xd; Q\A%!  
>dKq9@k  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） W:MR,CXDhj  
%DgU#0?  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） /1#_W&P!  
b c,R{W)  
三倍角公式 #vP 3n)J  
s1`k@$WL 5  
　　 ZQe|%&eV  
3)K6-V:  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)  kp5O  
^(X''? P2  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) B]I^k^7  
mA \(1iU  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) I)^?O%t.&s  
ak""tkP  
三倍角公式推导 T> qg'[_  
kac6cQ{#  
　　sin3a pa5iaz= Q  
b(4G{$g^  
　　=sin(2a+a) O5\NvBC?  
s\<_a bh  
　　=sin2acosa+cos2asina wt<#2'fr  
Ie} E#lqiy  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina "&o-^3!  
+ 97 #?aM  
　　=3sina-4sin³a Fz+_&n C:  
TJf%?Ao  
　　cos3a 7aS$pfL  
UUY _C  
　　=cos(2a+a) a|7+Y+  
1)9|,`M'  
　　=cos2acosa-sin2asina I- T!  
pW*k sH  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ju4+ "-l\  
+epTP3rQ  
　　=4cos³a-3cosa U <z;$  
@1D^ 8:N*  
　　sin3a=3sina-4sin³a  5]J[x  
)z#js^h  
　　=4sina(3/4-sin²a) Map_:dV-  
!n[QH`8f  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] !*KGSiS  
keDLx',Q3  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) UFnowSOiW  
o? c]E  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) n;Sahd V  
,;P6R  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 9aP{o-  
Z(zMNmzL<;  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) t<l_t'Uk)  
.BI &J\$@  
　　cos3a=4cos³a-3cosa v?^tK1'a7t  
n3I< 5EFp  
　　=4cosa(cos²a-3/4) aPI>Cyb  
g|+X,_mu  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] +x O)(k\V.  
/y-JAOa  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) kC/OT7EM  
..#;%=Cb  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) q$ MFM^hFh  
upPNQ(E |  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =E37C#vGRs  
h.}WO -  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) jCxvdB  
neAdR> #B  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] tWvV4R{ub  
L8dei~Q%g  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] |4/[AI0xa  
TX|  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 15>rV"J|<Z  
!!DQMPi  
　　上述两式相比可得 m@]qaYFS  
}fLb:s)G  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) yO$ 9]  
r4ikT<'  
半角公式 D)hQcvW  
^G"!"A-?[  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ?sV<^DT  
A]Z67B  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. $POZ {)><  
Rv$*eA  
和差化积 >$L`!~g  
$@7TvX  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] KNn.<lo  
O1]z`D<  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] g n Gw3Z  
>e }Yfy  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 5\zGmX?N  
F_^F~Zd)S  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] (}U-}yh  
2G#<Xl V*  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ^:eAYqB  
: sF .  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) k\orP  
4#KYlRFZ  
积化和差  b77mrx  
q0ip*]m~  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] pSNf3fJ~[  
lxwqcO:  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] Hw=/{;_  
<xUc |&ZV  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Hi B>iZ}-  
rrk|;aw3  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ig'-@t2~#  
_^_;Q  
诱导公式 pae^Ncf  
C!nP'3[}3  
　　sin(-α) = -sinα ?x}7AFf   
loEEFye=t  
　　cos(-α) = cosα #6&+X  
gh ;{r: I  
　　sin(π/2-α) = cosα !l2WQ;D$  
k}^)w0  
　　cos(π/2-α) = sinα KP ~{'N\G  
iha]rPUk^  
　　sin(π/2+α) = cosα NY{_(a  
{E ozN l  
　　cos(π/2+α) = -sinα 8zxn#8  
,?-?#NmO  
　　sin(π-α) = sinα /"Gcaz(j{  
%#}C'y  
　　cos(π-α) = -cosα l74;Ju*<)  
(U'*mQ  
　　sin(π+α) = -sinα YCCRL8[o8  
?0DP'*2^  
　　cos(π+α) = -cosα &Mg-zB1r  
} >2^0  
　　tanA= sinA/cosA Ii%4CiSn=}  
=up= !v?7  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα fkRizKq  
lkM9Jn| B  
　　tan（π/2－α）＝cotα R%OeQ 0W  
km@Og{nIh6  
　　tan（π－α）＝－tanα {w* CN  
>o<((D%F  
　　tan（π＋α）＝tanα Qs Bu!Y<   
a.[#?d4s4~  
万能公式 0Q=;o4UUD  
lANMt Ue  
　　 4VG>{k  
. E#`=3var  
其它公式 *U]nz+A  
qzJ8\uG("  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ifbB'  
"L {'[rw0  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ro-S C(~C  
c~QasL/  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 G@`xK?^s  
)0|<,!a 5  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 |]_3 !`/(  
iPoh9-_H  
　　对于任意非直角三角形,总有 PC:[6  
:'V*'qw,  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC .qZKR{t  
CKBn 8M  
　　证: UNtTMhV  
|Xt@3gk\;P  
　　A+B=π-C o$E&egW  
9Eb\I T  
　　tan(A+B)=tan(π-C) rIPM?9-+!  
'H >2rwr<X  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 52bIu-R87  
H~:(;;)q  
　　整理可得 hmGGg[h6H  
[}q{F7>  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC cNN2Z^5?4  
I7'Xmp.Nm  
　　得证 ^OssJG  
SGgsbBZ  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 #b";d9<,<  
#j3W ;x`  
其他非重点三角函数 l+_46T  
# 36D5\  
　　csc(a) = 1/sin(a) D8n>'.c:,  
 pm*q+m  
　　sec(a) = 1/cos(a) / /<+]~c  
R$UGX  
　　 yJ;7W"   
3wdT^v A  
双曲函数 BVMa0+{s  
#r}.Hw  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 s?DB%:r  
%0n$_}u  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ,'T#G!?  
( 90>S_)rp  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) w<%Tv.|J6z  
!ETSe5d)b  
　　公式一： Db.oq,Q-)  
>Z:Rhf|  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： AMt4Nyx  
EZ\*+,^  
　　sin（2kπ＋α）= sinα Y DC~s4#  
_Df>9>  
　　cos（2kπ＋α）= cosα P WpE`j  
4O>%K([A  
　　tan（kπ＋α）= tanα ly]lXg"S  
lmdCkJ  
　　cot（kπ＋α）= cotα ) \M1lp3  
QD#pND  
　　公式二： s  o)~ |  
urw"k$8w  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：  )nFi_Pu)  
}vRy Vp  
　　sin（π＋α）= -sinα CJU3,/:f  
>!7U[Ki\  
　　cos（π＋α）= -cosα Fo# [2 [  
9~$. >,  
　　tan（π＋α）= tanα x&n@h 8+  
P}bod<TDf  
　　cot（π＋α）= cotα lvKb.hh  
~k [y;Ei!  
　　公式三： vmX@mjU  
G*p|%uI  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： fY:0C%c  
G>ZD6  
　　sin（-α）= -sinα zWX]j/!X-  
Vy+{ZaO-  
　　cos（-α）= cosα ^]  v1bc  
@<Jd  
　　tan（-α）= -tanα biGW1!v)2(  
|f Hp[`~  
　　cot（-α）= -cotα m_h3Z<Cf5  
>fzY!}+  
　　公式四： ,>kZl:   
Yx'!0mO  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： S6Y<$3T  
1D Fcnj  
　　sin（π-α）= sinα )y8#4<unv  
}gjVLj T  
　　cos（π-α）= -cosα f-nPy  
s}K)s[  
　　tan（π-α）= -tanα ;,GXFpI,c  
O{uUzGevf  
　　cot（π-α）= -cotα y@(Pc:u  
gn9 cKhY#  
　　公式五： F-xc(VEl  
F8) wJKV  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： E`` q8GUCU  
fu?{OQ moY  
　　sin（2π-α）= -sinα a,t:*^'  
_aW8=?  
　　cos（2π-α）= cosα ~,n6?" ,i  
kkY1}1t  
　　tan（2π-α）= -tanα 8$A[Uel\  
.|cM6`  
　　cot（2π-α）= -cotα ^QcU'cpik  
8A]]RnH2fK  
　　公式六： z3]mRG  
 AnB<^=  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： EB2t8 "%  
Ft ?/Ep  
　　sin（π/2+α）= cosα "g@1%Oh 3  
a&qE Z:]  
　　cos（π/2+α）= -sinα [-'<{cwu  
*+>oq~"Hp  
　　tan（π/2+α）= -cotα K gXLOayt  
O98zp's?'  
　　cot（π/2+α）= -tanα d^&r!z  
Cbt[&7Rs!l  
　　sin（π/2-α）= cosα @DBib^~_{  
)jXSSCoP7  
　　cos（π/2-α）= sinα Q_+ab! J  
(H6<nok  
　　tan（π/2-α）= cotα 3B %/sC$  
wvW6 q[~  
　　cot（π/2-α）= tanα F36I\xI)a  
rG6?J|ov  
　　sin（3π/2+α）= -cosα }Svh c(Q  
K/>@sQP"  
　　cos（3π/2+α）= sinα 7o% F([  
xC^\{#  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ;Ztk` WDe  
53~n}-w  
　　cot（3π/2+α）= -tanα {Sw r- &h#  
nQ4dC+i  
　　sin（3π/2-α）= -cosα  W7)0N0:  
dVwn&-v i  
　　cos（3π/2-α）= -sinα tt%m .!`y>  
TcdgyH)!}  
　　tan（3π/2-α）= cotα ge* 9O99(  
j0^;05da  
　　cot（3π/2-α）= tanα .3';A~uHs  
kA).)  
　　(以上k∈Z) FygN|V0DG  
nm6[%=?/  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 8OK)\N^  
)cDq )$[c  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 8Alc$Qb"  
g<?gs!?2>j  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Di-m'477C  
2"*A"K[  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(16456) |  收藏